2002/10.

Kaotikus és nemlineáris dinamika

Káosz a tőzsdén?

Muraközy Balázs

közgazdász, BKÁE
murakozy@rajk.bke.hu

Bevezetés

A tőzsdék mozgásának modellezése jövedelmező iparággá vált a világ legtöbb térségében. A tőzsdei szakértők nagy számban találhatók meg a világ pénzpiacain. A tőzsdei előrejelzések tömegei készülnek, a legtöbb magára valamit adó újság is közöl ilyeneket. Persze ezeknek az elemzéseknek a mélysége meg sem közelíti azokét, amelyeket a bankok vagy a brókercégek szakemberei nyújtanak a potenciális befektetőknek. Milyen elméleti háttér áll ezen elemzések mögött? Hogyan képzelik el a közgazdászok a pénzügyi piacok mozgástörvényeit?

A kérdésekre a válasz meglepő lehet: a közgazdászok a legtöbbször úgy írják le a pénzügyi piacokat, mint amelyeken folyamatosan, egyenletesen növekszenek az árak, és erre a folyamatra teljesen véletlenszerű, külső sokkok rakódnak. A közgazdászok egy kisebbsége azt gondolja, hogy ez nem teljesen igaz. Véleményük szerint nemlineáris folyamatokkal ennél jobban lehet magyarázni a piac mozgását. A káoszelméletből ismert, hogy a nemlineáris differencia- és differenciálegyenletek nagyon bonyolult mozgásokat eredményezhetnek, és ezek sok szempontból közel állnak a valós idősorokhoz. Ennek persze leginkább az az oka, hogy a nemlineáris egyenletekből sokkal többfajta van, mint a lineárisokból, ezért könnyebb a valósághoz közelebb állót találni közülük. És miért lenne a valóság lineáris?

Ebben a dolgozatban az a célom, hogy bemutassak egy ilyen, általam készített modellt, és legfőképpen, hogy ennek kapcsán érzékeltessem, hogy ha a pénzügyi piacokat vizsgáljuk, érdemes kaotikus modellekben is gondolkodni. Az ilyen jellegű modellek érdekessége az, hogy jól mutatják a várakozások jelentőségét a közgazdaságtanban. A társadalomtudományokban a dinamikus jelenségek egyik nagyon fontos mozgatóereje az, hogy a különböző emberek várakozásai különbözőek és változnak. A társadalomtudományok e sajátossága jelentősen befolyásolta a fejlődésüket az utóbbi időszakban. Nagyon jó példa erre a közgazdaságtanban az újklasszikus iskola megjelenése és sikere. Az újklasszikus iskola egyik kulcsfeltevése a racionális várakozások feltételezése. 1 Az újklasszikusok - elődeikkel ellentétben - azt teszik fel, hogy az emberek várakozásaik kialakítása során nem követnek el szisztematikus hibát, vagyis várakozásaik a rendelkezésre álló információk mellett a jövő legjobb becslései. Ez a feltevés radikálisan új eredményeket hozott, amelyekről máig folynak a viták.

Az első fejezetben a sztochasztikus és a kaotikus modellek alkalmazhatóságáról lesz szó. A második fejezetben röviden leírok egy általam készített modellt a pénzügyi adatokra, amelyben a befektetők várakozásai kétfélék lehetnek. Ez a modell kaotikusan viselkedik. A harmadik fejezetben a modell geometriai tulajdonságait vizsgáljuk, a negyedikben azt, hogy az egymást követő hozamok függetlensége ebben a modellben is igaz. Az ötödik fejezet a modell előrejelezhetetlenségének méréséről szól, amelyre a Ljapunov-exponenst használjuk. Az utolsó fejezet az összefoglalás.

Véletlenszerű és káoszelméleti modellek a pénzügyben

A pénzügyi irodalomban leginkább a véletlenszerű (sztochasztikus) modellek terjedtek el. Ezekben általában a vizsgált pénzügyi termék (részvény, kötvény, deviza stb.) 2 ára valamilyen trendet mutat, amely többé-kevésbé állandó, és nem függ a véletlenszerű hatásoktól. Mivel azonban a világban fokozatosan új információk jelennek meg, amelyek hatnak az adott termék árára, ezért egy véletlen hatás is jelentkezik. Vagyis a folyamat jellemezhető egy, a véletlentől független (determinisztikus) exponenciális trenddel, és ettől a részvény ára többé-kevésbé "elkóborol" attól függően, hogy éppen milyen hírek érkeztek a vállalatról vagy a kamatlábak alakulásáról. Az ilyen mozgást végtelen bolyongásnak nevezzük. Ebben a modellben tehát a piac nem képes önmozgásra: például nincs spekuláció. Az emberek nem vesznek részvényt csak azért, mert azt gondolják, hogy annak az ára fel fog menni. Sőt, azért se vesznek részvényt, mert azt gondolják, hogy a többiek szerint fel fog menni az ára, és ezért fel fogják hajtani az árat. Az ár csak a kívülről érkező véletlen hatások miatt mozdulhat el. Vagyis el kell tekintenünk a várakozások problémájától: a részvények valóban annyit érnek, amennyit a vállalat ér, s ezt mindenki tudja is.

Ez a feltevés a hatékony piacok feltevése, amely azt mondja ki, hogy a piaci árban minden múltbeli információ megjelenik. 3 Vagyis mindent, ami az adott pillanatig történt, már feldolgozott a piac, megemésztettek a befektetők és pontosan beépült az árba. Az eddigi történésekbe természetesen beletartozik az is, ami a vállalat vagy a gazdaság jövőbeli várható teljesítményéről kiderült a múltban: az ár a vállalat értékének torzítatlan becslését adja. Ami ezután váratlanul történik, csak az változtathatja meg az árat, ezt viszont a múltbeli adatokból nem lehet semmilyen módon kikövetkeztetni, mert ha ez lehetséges volna, a befektetők már kikövetkeztették volna, és beépült volna az árba.

Vizsgáljuk még tovább e feltevés jelentőségét! Mit tudunk meg az olyan jellegű állításokról, mint például: X részvény jelentősen alulértékelt, mert a befektetők bizonytalanok? Bizony ez a jól hangzó állítás és a hatékony piacok hipotézise kizárja egymást. A részvény nem alulértékelt, hanem a befektetők bizonytalannak látják a vállalat jövőjét, ezért csak kevesebbet ér nekik. Nyilván felmegy a részvény ára, ha csökken a bizonytalanság, de nem tudhatjuk, hogy ez következik-e be vagy éppen az ellenkezője. A papír árának bizonytalansága éppen akkora, mint az az eddigi információk szerint indokolt. Vagy elemzőnk nem tartja igaznak a hatékony piacok hipotézisét, vagy nem mondott jót. Hasonló jellegű állítások tömkelege olvasható a sajtóban, vegyük csak azt, hogy: a tegnapi árcsökkenés után korrekcióra számítunk. Csak nem a múltbeli adatok alapján próbál elemzőnk következtetni? És mi a helyzet a spekulációval? Mennyire képesek a várakozások egy piacot mozgásban tartani? A történelem során nagyon sok példa volt olyan jellegű hegymenetekre, amelyeket az adott termék "belső értéke" nem indokolt. Talán elég csak a legújabb fejleményekre gondolni. Az internetes cégek részvényeinek ára hihetetlen magasba repült, miközben ezek a vállalatok igen veszteségesek voltak. Ezt a szárnyalást persze részben magyarázhatja az, hogy folyamatosan kerültek nyilvánosságra olyan információk, amelyek szerint az internettel foglalkozó vállalatok rendkívül nyereségesek lesznek a jövőben, és a papírok árában ez a hatás jelentkezett. Ez a magyarázat azonban nem nagyon hihető, sőt amennyiben elfogadnánk is, akkor sem lenne egyszerű megmagyarázni a papírok árának nagyon gyors zuhanását. Nem derült ki, hogy az internet-technológia használhatatlan, vagy sokkal jobb lehetőségek vannak a helyettesítésére. Egyszerűen a piac túlértékelte a részvényeket, és ehhez nagyon erősen hozzájárult a spekuláció.

Vagyis a piacok empirikus vizsgálata alapján úgy tűnik, hogy a múltbéli árakból lehet következtetni, és hogy vannak olyan múltbeli események, amelyeket a piac még nem vagy rosszul dolgozott fel, mint például az internet-részvények esetén. Ezt az érzésünket tudományos munkák is megerősítik, amelyek azt vizsgálják, hogy a különböző pénzügyekkel foglalkozó vállalatok meny-nyire alkalmazzák azt a módszert, hogy a múltbeli árak alakulásából próbálnak a jövőbeli árakra következtetni (technikai elemzés). Például Carter és Van Auken (1990) a biztosítótársaságoknál vizsgált befektetés-elemzőket, akiknek 35 %-a használt technikai elemzést, és a megkérdezettek fontos elemzési eszköznek találták a technikai elemzést. Taylor és Allen (1992) egy Bank of England jelentés alapján azt írja, hogy a valutakereskedelemmel foglalkozók 90 %-a használ technikai elemzést. Ezek az adatok azt mutatják, hogy ez a módszer nem szorult ki a piacról, tehát nem működhet sokkal rosszabbul, mint a véletlen bolyongáson alapuló technika. Másrészt azért is fontos ez a megfigyelés, mert ha ilyen sok technikai elemző van jelen a pénzügyi piacokon, akkor ők jelentősen részt vesznek az árak alakításában, vagyis olyan modellt érdemes építeni, amely ezt a hatást is tudja kezelni.

A technikai elemzés sikere azt mutatja, hogy nem csak véletlenszerű hatások összegződnek, hanem létezhet valamilyen függvény, amely alapján meg lehet jósolni a rendszer jövőbeli viselkedését, és ez a függvény akkor jobban is leírja a piacot, mint a véletlenszerű változat. Az ilyen felismerések miatt indult meg a kutatás abba az irányba, hogy lehetséges-e valamilyen módon olyan kaotikus egyenleteket találni, amelyekkel leírható a piac viselkedése. A kutatást nem kis várakozás előzte meg, mert a pénzügyek terén a nagy elméleti eredmények gyakran nem csak tudományos, hanem komoly anyagi sikerrel is járnak. Éppen ezért érdemes alaposabban megvizsgálnunk azt, hogy a kaotikus modellek általában megfelelnek-e azoknak a feltételeknek, amelyeket a pénzügyi modellektől elvárunk. A következő fontos jellemzőket érdemes végiggondolni:

• A kaotikus rendszerek nem ismétlik önmagukat, tehát bonyolultabb a mozgásuk, mint a periodikus rendszereké. A pénzügyi idősorok esetén ez a tulajdonság teljesen elfogadhatónak tűnik, nem jellemző az, hogy időről időre pontosan ugyanolyan alakzatok jelennének meg. Azzal viszont mindenképpen tisztában kell lenni, hogy a kaotikus rendszerekben időről időre ismétlődhetnek, sőt gyakran ismétlődnek is hasonló alakzatok, akárcsak a pénzügyi folyamatokban. A tőzsdei modellek vizsgálatában is van olyan példa, amelyben azt vizsgálják a szerzők, hogy az általuk generált kaotikus idősorban mennyire gyakran jelenik meg a fej és vállnak nevezett, a brókerek körében legendásnak számító alakzat, és hogy ez az alakzat tényleg képes-e előre jelezni az utána következő eseményeket.

• A kaotikus rendszerek másik fontos tulajdonsága a megjósolhatatlanságuk. Ez azt jelenti, hogy ha az adott rendszer viselkedését vizsgáljuk két egymáshoz közeli pontból indítva, akkor ez a két pont várható értékben exponenciális sebességgel távolodik egymástól. Ezért a kezdőfeltétel mérésében elkövetett kis hiba rövid idő után hatalmas különbséget okozhat a megjósolt és a tényleges érték között, még akkor is, ha a rendszert leíró egyenleteket pontosan ismerjük, és egyáltalán nem játszik szerepet a véletlen. A megjósolhatatlanság alapvető jellemzője a pénzügyi idősoroknak, szokásosan éppen ez az egyik legfontosabb empirikus bizonyítéka annak, hogy a piacok hatékonyak, és ezzel indokolják a sztochasztikus leírás használatát. A sztochasztikus modell azonban képtelen annak a magyarázatára, hogy egészen rövid időtávon miért figyelhető meg szignifikáns pozitív autokorreláció a pénzügyi idősorokban. A kaotikus modellek esetében igen rövid időtávon megjósolható a folyamat, és ez a tulajdonság egybevág a pénzügyi idősorok empirikus tulajdonságával.

• A kaotikus mozgás geometriai struktúrája rendezett. Ez azt jelenti, hogy a modell független változói által kifeszített térben (fázistérben) a pontok egy határozott alakzatot (attraktort) rajzolnak ki, ilyen módon a fázistér nagy részét üresen hagyják, szemben a véletlenszerű folyamatból származó pontokkal, amelyek (ha elég sok van belőlük) az egész fázisteret egyenletesen kitöltik. Ez a kaotikus rendszerek egyik nagyon fontos tulajdonsága, és valamennyire mérhető is. A probléma itt az, hogy a valóságban létező zajos káosz esetében a zajos pontok "elrontják" az attraktort, amit emiatt nehéz megtalálni. Így is megmarad az a lehetőség, hogy megvizsgáljuk, mennyire egyenletesen oszlanak el a pontok a fázistérben, és ilyen módon bizonyítani lehet a kaotikus viselkedést. 4

• A kaotikus mozgást általában egyszerű egyenletű mozgásként definiáljuk, vagyis kis szabadságfokú rendszerekben jellemző. A pénzügyi piacokra igen sok tényező hat, ezért nem biztos, hogy célszerű rájuk alkalmazni a káoszelméleti modelleket. Amennyiben csak néhány olyan faktor van, amely az adott termék árát alapvetően befolyásolja, akkor ezek hatásának vizsgálatával már képesek lehetünk leírni a rendszer alapvető jellemzőit, amelyekre természetesen még rárakódik a többi - általunk figyelmen kívül hagyott - faktorból eredő zaj. A kanonizált pénzügyi irodalomból sem hiányoznak az olyan modellek, amelyek egy pénzügyi termék viselkedését csekély számú faktorra vezetik vissza. 5 Mivel ezek a modellek nagyon elterjedtek, ezért ha a kaotikus modelleket pusztán amiatt elvetjük, hogy azok csak kis szabadságfokú rendszerek leírására alkalmasak, akkor bizony a többi modellt is el kellene vetni ugyanilyen alapon.

Összefoglalva tehát azt láthatjuk, hogy a kaotikus modellek sok szempontból jobban írhatják le a pénzügyi termékek árának dinamikáját, mint a véletlen bolyongást feltételezők. Határozott hátrányuk viszont, hogy sajnos színt kell vallanunk arról, pontosan milyen folyamat alakítja a részvény árát, és a megfelelő egyenletek kiválasztása közel sem triviális, főleg, mert a kaotikus viselkedés kialakulásához szükséges az, hogy legalább egy egyenlet ne legyen lineáris.

Egy modell különböző várakozásokkal

A káoszelméleti modellek egy része abból indul ki, hogy a piacokon különböző várakozású szereplők vannak. E modellek közé tartozik például Chiarella (1992) vagy Brock és Hommes (1998), Hommes (2001). Ebben a fejezetben egy olyan, általam készített modellt fogok bemutatni, amely Gaunersdorfer, Hommes és Wagener (2001) (GHW) modelljének módosított változata.

A modellben a szereplők egyik része technikai elemző, a másik része fundamentális elemző. A technikai elemzők feltételezik, hogy az ár trendje a jövőben is folytatódni fog. Vagyis ha az ár +10-zel változott, akkor ők azt várják, hogy az ár a következő időszakban is emelkedni fog. A befektetők másik része fundamentális elemző, ők ismerik a vállalat fundamentális értékét, amely vagyonának profittermelő képességét jelenti. A fundamentális értéket olyan módon lehet megbecsülni, hogy a szakértők megvizsgálják a vállalat könyveit, éves jelentését stb., ebből következtetnek a vállalat értékére. A fundamentális elemzők ezeket a technikákat alkalmazva azt feltételezik, hogy a vállalat részvényeinek összértéke közeledni fog a cég fundamentális értékéhez. A két típusú elemzés költsége különböző. A technikai elemzés költsége általában alacsonyabb, mert ekkor csak a múltbeli árakat kell ismerni, amelyeket viszonylag olcsón meg lehet szerezni. A fundamentális elemzők azonban a cégről hozzáférhető összes adatot megszerzik, amelyeket gondos és egyben költséges elemzésnek vetnek alá.

A modellben feltételezzük még azt is, hogy a különböző befektetők számára a két elemzési technika költsége különböző. Ennek számos oka lehet: elképzelhető, hogy a befektetők közül van, aki önmaga el tudja végezni a fundamentális elemzést, másoknak szakértőt kell felbérelniük. Az egyes befektetők mérete is különböző lehet. Ha a fundamentális elemzés költsége nem függ attól, hogy a befektető hány részvényt vásárol, akkor a nagyobb befektetők számára a fundamentális elemzés költsége egy részvényre jutóan alacsonyabb, mint a kisebb méretű befektető számára. Így a nagyobb befektetők inkább hajlamosak elvégezni a költségesebb elemzést. Jelöljük a fundamentális elemzés és a technikai elemzés költségének különbségét az i befektető számára Ci-vel. Ez a fentiek alapján általában pozitív. Sőt, tegyük fel azt, hogy Ci eloszlása a befektetők sokaságán normális, vagyis ezt a jól ismert haranggörbe írja le, amelynek csúcsa egy pozitív értéknél van. Természetesen más eloszlást is feltehetnénk, de a normális eloszlás a legkézenfekvőbb és a legegyszerűbben kezelhető, ráadásul elég könnyű elképzelni, hogy Ci eloszlása valóban ilyen. A következő megválaszolandó kérdés: mitől függ, hogy a befektetők mekkora része fogja az egyik, illetve másik típusú elemzést választani. A modell dinamikáját éppen ez a választás teszi érdekessé: rögzített arányok mellett nem alakulna ki kaotikus viselkedés. A befektetők - logikus módon - azt az elemzési módszert választják, amellyel pontosabban meg tudják becsülni a jövőbeli árat, hiszen minél pontosabban képesek előre jelezni az árakat, annál nagyobb profitra tehetnek szert. A pontosabb módszert onnan ismerhetik fel, hogy megvizsgálják, melyik elemzési módszer működött jobban a múltban, és bíznak abban, hogy a jövőben is ez a módszer lesz a hatékonyabb. Ez azonban nem jelenti azt, hogy mindenki ugyanazt az elemzési technikát fogja alkalmazni: mivel a két elemzés költsége a különböző befektetők számára különböző, ezért a különböző emberek számára különböző mértékben kell hatékonyabbnak lennie a fundamentális elemzésnek, hogy azt tartsák jobbnak. Tegyük fel, hogy a t-1 időszakig az befektető U1,t-16 profithoz jutott volna a fundamentális elemzés segítségével, ha nem vesszük figyelembe az elemzés költségét. Ez a profit természetesen attól függ, mennyire pontosan tudta a fundamentális elemzés előre jelezni a múltbeli árakat. Amennyiben a befektető a technikai elemzést választotta volna, akkor - hasonlóképpen - profitot realizált volna. Mikor választja befektetőnk a fundamentális elemzést? Akkor, ha a költségeket is figyelembe véve több profitot ért volna el ezzel a módszerrel, vagyis ha U 1,t-1-Ci3 U2,t-1.

Ezeknek a befektetőknek az arányát pedig úgy kaphatjuk meg, hogy megnézzük, hány ember számára teljesül ez az egyenlőtlenség. A számuk annyi, ahány ember költsége a haranggörbén a U1,t-1 - U2,t-1-től balra van. E befektetőknek nagyobb a haszna a bonyolultabb elemzésen, mint ennek pótlólagos költsége. A fundamentális elemzést választó befektetők aránya legyen n1,t, a technikai elemzést használóké pedig n2,t.

Emellett be kell vezetni még egy "stabilizáló egyenletet". Ez az egyenlet abból adódik, hogy amennyiben az ár nagyon eltér a fundamentálistól, akkor a befektetők egy idő után már nem hiszik el, hogy tovább is növekedhet ez a különbség. Ezért egyre több befektető érzi úgy, hogy bár elvileg érdemesebb lenne a technikai elemzést használnia, nem tartja valószínűnek a különbség további emelkedését, ezért mégis fundamentális elemzést alkalmaz. Vagyis például az internet-részvények esetén - amennyiben létezett ilyen stabilizáló hatás - amint a részvények ára egyre valószínűtlenebb magasságokba emelkedett, egyre több befektető várta azt, hogy a részvények ára visszatér fundamentális értéke közelébe, és ez erősen hozzájárult a piac összeomlásához. Az egyenlet tehát olyan, hogy minél nagyobb az ár (négyzetes) eltérése a fundamentálistól, annál kevesebben választják a technikai elemzést:

n2t=n2t exp(-(pt-1-p*) 2/a) n1t=1-n 2t

ahol p* a fundamentális ár, a egy paraméter, n1t és n2t a két típusú elemzést használó befektetők aránya. Az a paraméter azt mutatja, hogy milyen gyorsan ijednek meg a befektetők, amikor az ár eltávolodik a fundamentálistól.

Már csak annak vizsgálata van hátra, hogy milyen módon alakul az ár. Amennyiben a részvények mennyisége nem változik az adott időszakban, vagyis a vállalat nem bocsát ki új részvényeket a vizsgált időszakban, akkor a részvény árát csak a keresleti oldal befolyásolja, a kínálati oldalt figyelmen kívül hagyhatjuk. A részvények összkereslete egyenlő a két típusú elemzést alkalmazó befektetők keresleteinek összegével. Tegyük fel, hogy a fundamentális befektetők által a t +1 időszakra várt ár, pe1,t+1 és a technikai elemzők által várt ár, pe2,t +1 a következőképpen alakul:

pe1,t +1=p* + v (pt-1-p*)

pe2,t +1=pt +1+ g (pt-1-pt -2)

ahol v és g paraméterek. Mennyit hajlandók fizetni a befektetők ezért a részvényért a t időszakban? Annyit, amennyi pénzt a bankba téve pet +1összeget kapnának a t +1 időszakban. 7 Ha ennél kevesebbet érne nekik a részvény, akkor megérné a pénzük egy részét kivenni a bankból, és a részvénybe fektetni, amellyel magasabb hozamot érnének el. Ha ennél többet volnának hajlandók fizetni a részvényért, akkor pedig több pénzt lenne érdemes a bankba tenniük. Tehát a részvényért

-t érdemes fizetni, ahol r a kamatláb. Mivel az összkeresletet a két típusú befektető keresleteinek összege adja, a piaci egyensúly feltétele a következő: 8

Ezzel a modell építését befejeztük. Érdemes azonban a jobb érthetőség kedvéért áttekinteni a modell időbeli felépítését. A t időszak előtt a befektetők először is eldöntik, hogy ki melyik típusú elemzést fogja alkalmazni. Ehhez a döntéshez a t időszak előtti adatokat tudják vizsgálni, és eldöntik, hogy melyik fajta elemzést lett vona érdemes használniuk. Miután ezt mindenki eldöntötte, megbecsülik a t +1 időszakra általa várt árat. Ezek alapján kialakul az összkereslet és a t időszak ára.

A modell, mint említettem a GHW modell módosított változata. A különbség abban áll, hogy a befektetők milyen módon döntik el azt, hogy melyik típusú elemzést alkalmazzák. GHW modelljében minden befektető számára ugyanakkora a két típusú elemzés költségének különbsége. Viszont náluk nem választja mindig mindenki azt a típusú elemzést, amely neki a múltban előnyösebb lett volna, hanem csak fokozatosan váltanak. Ezt a feltevést nevezik korlátozott racionalitásnak. Természetesen a valóságban ez a feltevés reális lehet, azonban a szokásos pénzügyi irodalomban inkább a teljes racionalitást szokták feltenni. A nemlinearitás forrása a GHW modellben ezt a fokozatos váltást leíró ún. evolúciós egyenlet, az itt ismertetett modellben pedig a költségkülönbséget leíró, nemlineáris haranggörbe (integrálja). Az itt ismertetett modell fő erénye az, hogy megmutatja: egy ilyen jellegű modell nem csak akkor viselkedik kaotikusan, ha feltesszük a korlátozott racionalitást, hanem e nélkül is - vagyis a kaotikus viselkedés egyszerűbb modellben is előfordul. Mivel az ilyen heterogén költségek szinte mindenütt előfordulnak a valóságban, ezért a kaotikus viselkedés is előfordulhat. Ez a feltétel talán egyszerűbb, mint a racionalitás feltevése. Ami viszont sokkal fontosabb, az az, hogy empirikusan sokkal jobban ellenőrizhető: ha egy elemzési költségről kiderül, hogy nemlineáris, akkor azon a piacon, amelyet ez befolyásol előfordulhatnak bonyolult dinamikák. Vizsgáljuk meg, milyen elveken működik a modell. Amikor az ár a fundamentálishoz közel ingadozik, akkor megéri technikai elemzőnek lenni, mert ilyen módon elég pontosan meg tudja mondani az ezt használó befektető a következő időszak árát, és e pontosságért cserébe nem kell kifizetnie az elemzés költségét. Emiatt viszont kevés fundamentális elemző marad, nincs ami stabilizálja az árat, az tehát egyre távolabb kerül a fundamentálistól. Amint azonban a rendszer távolodni kezd a fundamentális ártól, megint csak egyre kevésbé éri meg a fundamentális elemzést használni, hiszen az ár ekkor távolodik p*-tól, tehát egyre több lesz a technikai elemző. A technikai elemzők nagy aránya miatt egyre távolabb kerül az ár a p*-tól, ezért egyre több lesz a technikai elemző és így tovább. Ez a folyamat nem is állna meg, ha ennek nem vetne gátat a befektetők félelme, hogy az ár teljesen elszakad a részvény valós értékétől, konkrétan pedig a stabilizáló egyenlet működésbe lép: amint az ár már nagyon messze jár a p*-tól, a technikai elemzők aránya erőteljesen csökken, ezért az ár behúz a fundamentális közelébe. A modellel kapcsolatban három dolgot érdemes hangsúlyozni:

• A modellben eddig felírt formájában semmilyen véletlenszerű elem nincs. Vagyis a modell által - a későbbiekben bemutatott - bonyolult viselkedés előáll anélkül, hogy akár új információ kerülne napvilágra (a rendszer által generált determinisztikus folyamatoktól eltekintve) vagy valamilyen más külső hatás érné azt. Tehát az ilyen jellegű determinisztikus, kaotikus rendszerek képesek a valóságos folyamathoz viszonylag hasonló alakzatokat produkálni, részben ez indokolja felhasználásukat a pénzügyekben.

• A modellben az ár alakulásának alapvető mozgatórugóját a várakozások képezik. Nem igazán szokásos, hogy a várakozások önmozgása ennyire mozgassa egy modellben az árakat, viszont a pénzügyi piacokon ez nem elképzelhetetlen, mint erre az internet kapcsán is utaltam. A modellben szereplő várakozások olyan értelemben nem racionálisak, mint ahogy ezt az újklasszikus közgazdaságtan használja, vagyis nem felelnek meg annak a követelménynek, hogy nagyságuk megegyezzen az adott ár várható értékével. Az újklasszikus típusú befektetők figyelembe vennék azt is, hogy a következő időszakban a többi befektető várhatóan milyen módon alakítja várakozásait. Első látásra úgy tűnik, mintha az ilyen várakozással rendelkező befektetők kiszorítanák a többieket a piacról. Azonban Brock és Hommes (1997) egy egyszerű kereslet-kínálat modellben bemutatja, hogy a racionális várakozásokat alkalmazó termelők nem szorítják ki a naiv várakozásúakat, vagyis azokat, akik azt feltételezik, hogy az ár változatlan marad. A racionális várakozásokkal van azonban egy filozófiaibb jellegű probléma is: a kaotikus rendszerek alapvető tulajdonsága a megjósolhatatlanság, ezért nem feltételezhetjük azt, hagy a benne szereplők ki tudják számítani a következő időszakok árait.

• A harmadik megjegyzés az előzőhöz kapcsolódik. Az ilyen típusú modellek létrehozásának egyik célja az volt, hogy be lehessen mutatni: nem törvényszerű a technikai elemzők kiszorulása a piacról. Az általam ismertetett modell vizsgálata jól mutatja ezt. Észre kell venni azonban azt is, hogy bizonyos értelemben ez a demonstráció túl jól sikerült: a stabilitási feltétel nélkül bizony a rendszer legtöbbször felrobban, vagyis az ár végtelenre nő, miközben a chartisták aránya 1 lesz.

Most pedig vizsgáljuk meg azt, konkrétan milyen az ár alakulása a modellben (1. ábra) . Az ábrán nem az ár konkrét értéke látható a függőleges tengelyen, hanem az ár és a fundamentális ár különbsége.

1. ábra • Az ár alakulása a heterogén szereplős modellben, ha g = 2,8, szigma c =0,1 a = 0,5 szigma = 2,25, m = 1, v = 0,3, éta = 0, alfa = 0,8

Láthatjuk, hogy e paraméterértékek mellett a mozgás kaotikus: nincs ciklus, a folyamat bonyolultabb, mint amit az egyszerű determinisztikus mozgásoktól megszoktunk. Azonban elég komoly szabályosság figyelhető meg: a ciklusokhoz hasonló, viszonylag szabályos árhullámzás látható, amely viszont igen kiszámíthatatlan. Az ár viszonylag hosszabb időt tölt a fundamentális ár közelében, majd egy öngerjesztő spekulációs folyamat eredményeképpen általában eléggé elrugaszkodik tőle. Láthatjuk, hogy bizonyos ponton, a fundamentális ártól valamiféle kritikus távolság után a folyamat meredeksége erősen megnő, majd csúcspontot ér el. Itt lép igazán működésbe a stabilizáló egyenlet: a befektetők úgy érzik, hogy már nagyon elrugaszkodott az ár a vállalat eszközeinek valós értékétől, és egyre többen várják az ár visszatértét a fundamentálishoz, ami igen gyorsan be is következik. A dinamika tehát bonyolult és kiszámíthatatlan, akárcsak a pénzügyi piacokon.

Érdemes még egyszer hangsúlyozni, hogy ezt a bonyolult mozgást egy olyan modellben figyelhetjük meg, ahol egyáltalán nincsen véletlenszerűség. A valóságban a pénzügyi piacokat természetesen érik véletlenszerű külső sokkok, és az ezek által generált zaj beépítése a modellbe még inkább kiszámíthatatlanná teszi a viselkedését, és élethűen szimulálja a piac működését. A másik fontos dolog az, hogy a kezdőfeltétel kis különbsége teljesen megváltoztathatja az idősor viselkedését. Ez nagyon nagy hatással van a pénzkeresési lehetőségekre: mivel a kezdőfeltételt sohasem lehet pontosan megfigyelni, még ha tökéletesen ismerjük is az egyenletek alakját, akkor sem tudjuk hatékonyan megjósolni a jövőbeli árat. A kezdőfeltétel ismeretének hiánya adódhat a tőzsdéken alkalmazott kerekítésekből, abból, hogy a papírral csak régen kereskedtek, és ezért nem tudjuk megfigyelni az aktuális árat vagy abból, hogy a piac nem tökéletes, és egy nagyobb tétel eladása nagy hullámzásokat okozott. Mindezek miatt, még ha ismernénk is a tökéletes modellt, azzal se mennénk sokra. Nem beszélve arról, hogy amennyiben valaki felfedezné a mozgásegyenletet, akkor - amennyiben az illető megpróbálna pénzt keresni - saját magatartásával megváltoztatná a nagy erőfeszítéssel felfedezett egyenletet. Ezen okok miatt egy kaotikus modellre is teljesül a megjósolhatatlanság, amelyből a pénzügyi piacok hatékonyságának hipotézisét le szokták vezetni.

Az attraktor

A kaotikus mozgások vizsgálatára azonban nem a fentihez hasonló egydimenziós ábrák a legjobbak, hiszen ezeken nem látható különösebb struktúra. Ezek helyett célszerűbb a mozgást a fázistérben megvizsgálni, amelynek tengelyeit a rendszer különböző független változói adják. A fázistérben vett ábra vizsgálatakor megállapítható a rendszer dinamikájának típusa. Elképzelhető, hogy a rendszernek stabil fixpontja (spirális fixpont) van, ekkor a rendszer a fixpont felé történő mozgást végez. Ez a fázistérben is látható, ahol e felé az egy pont felé halad a folyamat, mégpedig spirál alakban. A modellünkben ez például akkor következik be, ha (a többi paraméter 1. ábrán látható értékei mellett) g=1 esetén vizsgáljuk a rendszert, tehát akkor, ha a technikai elemzők azt várják, hogy az árváltozás pontosan akkora lesz, mint az előző időszakban. Ekkor a rendszer konvergál a fundamentális árhoz, és majdnem mindenki technikai elemzést használ, mert az jól működik ilyen dinamika mellett, ráadásul olcsóbb is.

A másik lehetőség az, hogy a rendszer periodikus viselkedésű, vagyis ciklus vagy kváziciklus alakul ki. Ciklus esetén a fázistérben csak néhány pontot látunk, kváziciklusnál pedig egy összefüggő alakzatot. Erre példa a 2. ábra.

2. ábra • Kváziciklus a heterogén szereplős modellben. (A paraméterek mint az 1. ábrán, csak g=1,1)

A fázistér vizsgálata akkor válik igazán érdekessé, ha az adott paraméterértékek mellett a rendszer kaotikusan viselkedik. Ebben az esetben - ha a fázistérben elég sok pontot ábrázolunk - kirajzolódik a rendszer dinamikájára jellemző különös attraktor. Ez az objektum fraktál, ami azt jelenti, hogy önhasonló, vagyis bármilyen nagyításban hasonló jellegű struktúra rajzolódik ki. Ez persze praktikusan az ábrázolt pontok és felbontás végessége miatt nem teljesen igaz, de az attraktor nagyításával meggyőződhetünk arról, hogy azt ez a szerkezet jellemzi (3. ábra).

Modellünkben négy független változó van, vagyis a t időszak ára az előző négy ártól függ. Azért ilyen soktól, mert amikor a befektetők eldöntik, melyik típusú elemzést használják, akkor azt mérlegelik, hogy legutóbb melyik vált be a legjobban. Ennek során megvizsgálják az előző időszakra becsült árat, amely az azelőtti két vagy három ártól függ, attól függően, hogy technikai vagy fundamentális elemzésről van szó. Tehát a fázisteret ez a négy ár (mint dimenzió) feszíti ki, és ebben kellene vizsgálni az attraktort. Mivel azonban ezt lehetetlen ábrázolni, meg kell elégednünk kétdimenziós képével.

3. ábra • Különös attraktor vetületi képe. (A paraméterek mint az első ábrán.)

Az attraktor szabályossága mellett másik fontos tulajdonsága az, hogy véges területen helyezkedik el ez a kétdimenziós vetülete, és az egész attraktor is korlátos részét foglalja el a négydimenziós hipertérnek. Ez az eredmény nem az ábra pontatlanságából következik, hanem a kaotikus mozgások univerzális tulajdonsága. Esetünkben, a pénzügyi piacokon ez azt jelenti, hogy az ár nem mozdulhat el egy véges tartományból, ami azzal magyarázható, hogy a stabilizáló egyenlet bizonyos eltérésnél már mindig visszahúzza az árat a fundamentális ár közelébe. Ennek alapvető jelentősége van: amennyiben modellünk igaz volna, akkor lenne olyan nagyságú árzuhanás vagy áremelkedés, amelynél nagyobb biztosan nem következne be. Egy ilyen állítás beigazolódása jelentősen átalakítaná a világ pénzpiacait (ezzel valószínűleg meg is szűnne az érvényessége).

Vegyük észre azonban azt a két alapelvet, amelyeket fel kellett állítani ennek az állításnak a kimondásához. Az egyik az, hogy a fundamentális ár változatlan. Amennyiben a fundamentális ár változhat, akkor az ár ennek megfelelően változik. A vállalati csődök túlnyomó többségében a fundamentális ár is el szokta érni a nullát, bár ezt a folyamatot gyorsíthatja a befektetői pánik. Ha az ár eltérését a fundamentálistól egy tisztán determinisztikus kaotikus folyamat írja le, és a fundamentális ár is egy determinisztikus folyamatot követ, akkor viszont még mindig igaz az, hogy ez az eltérés csak egy korlátos halmazon vehet fel értékeket. 9 A másik feltevés nagyobb problémát okoz: amennyiben a modellben véletlenszerűség van, akkor ez bármennyire10 kilendítheti az eddigi véges tartományból az árat. Ekkor már nem tudjuk megjósolni az áresés vagy áremelkedés legnagyobb mértékét. A valóságos tőzsdei adatokat is lehet ugyanilyen koordináta-rendszerben ábrázolni, és összevethetjük őket az attraktorainkkal. Nem meglepő, hogy a valós adatok egy elkent pontfelhőt rajzolnak ki, amelyben nyoma sincs az ilyen jellegű szabályosságnak. Ha a modellünkbe zajt is helyezünk, akkor viszonylag kis véletlenszerűség hatására a valóságos adatokhoz teljesen hasonló pontfelhőket kapunk. Ez az eredmény egészen egyszerűen előáll akkor is, ha egy teljesen egyszerű zajból generálunk idősort. Ezért legfeljebb azt lehet megállapítani, hogy a zajos káoszt és az egyszerű zajt empirikusan gyakorlatilag lehetetlen egymástól megkülönböztetni.

A hozamok függetlensége

A pénzügyi piacok fontos jellemzője az, hogy az egymást követő hozamok függetlenek egymástól. Ez azt jelenti, hogy amennyiben ma felmegy X részvény ára (vagyis X részvény hozama pozitív), abból semmilyen következtetést sem tudunk levonni arra nézve, hogy holnap milyen lesz az X részvény hozama. Ez az állítás a hatékony piacok hipotéziséből következik. Gondoljuk meg, hogy mi történne akkor, ha tudnánk, hogy amennyiben X részvény ára felmegy, akkor 75 % valószínűséggel holnapután is fel fog menni. Mindenki rohanna vásárolni az X részvényből, amelynek még holnap felmenne az ára. Ez a folyamat éppen addig tartana, amíg a részvény ára olyan magas nem lesz, hogy már nem éri meg belőle venni. Ez pedig pont akkor fog bekövetkezni, ha már éppen 50 % annak a valószínűsége, hogy a részvény ára felmegy holnapután. Vagyis minden ilyen megfigyelt összefüggés azonnal eltűnik, mert a befektetők rohama megszünteti az ilyen profitlehetőségeket. Ez a függetlenség bizonyítható a következő módon. 11 Vegyünk egy olyan ábrát, amelyen a vízszintes tengelyen a mai, a függőlegesen pedig mindig az egy nappal későbbi hozam van rajta. Erre példa a valóságból a 4. ábra, amelyen a BUX-index napi hozamait láthatjuk 1997 februárja és 2002 februárja között. A hozamot egyszerűen úgy számoltam, hogy kivontam egymásból a két nap BUX-indexét. 12

4. ábra • A BUX-index napi hozamai 1997 február - 2002 február (Ft

Láthatjuk, hogy a ponthalmaz az origó körül sűrűbb és középpontosan szimmetrikus az origóra. Éppen ilyen alakzat jellemzi a véletlenszerűséget. Amennyiben igaz lenne az, hogy az emelkedést általában emelkedés követi, akkor a pontoknak a jobb felső síknegyedben kellene koncentrálódniuk, mert az egymást követő napok hozamai pozitívak. Amennyiben az lenne igaz, hogy a csökkenést vagy emelkedést korrekció követi, akkor pedig a bal felső és a jobb alsó síknegyedben találnánk több pontot. Az ábrán azonban a pontok eloszlása egyenletes a különböző síknegyedek között, ami támogatja a hatékony piacok hipotézisét. E meglátást egzaktabban is alá lehet támasztani azzal, hogy egy egyenest illesztünk a pontfelhőre. Amennyiben az egyenes meredeksége 0, akkor nincs lineáris kapcsolat az egymást követő árak között. Az ábrán láthatjuk, hogy az illesztett egyenes enyhén pozitív meredekségű, azonban statisztikailag ez a meredekség nem elég nagy ahhoz, hogy elfogadhassuk azt a feltevést, hogy nullától különbözik. 13 Hangsúlyozni kell azonban, hogy ez az eredmény a napi hozamokra vonatkozik, az ennél rövidebb távú (néhány perces) hozamokra már van összefüggés.

Vizsgáljuk meg ezután, hogy a modellünk által generált idősor milyen alakzatot hoz létre! (5-6. ábra)

5. ábra • A hozamok ábrája a zaj nélküli modellben. (A paraméterek mint az első ábrán.)

6. ábra • Az 5-tel késleltetett hozamok ábrája a zajos modellben. (A paraméterek mint az első ábrán.)

Az 5. ábrán a tisztán determinisztikus esetet látjuk. Ezen az ábrán határozott szerkezet rajzolódik ki, amely egy fraktál képe. Ez érthető, mert a különböző árak közötti viszony egy hasonló jellegű alakzatot rajzol ki a 3. ábrán, ezért ezeknek az áraknak a különbsége is fraktál. Az alakzatra illesztett egyenes szintén kis pozitív meredekségű, de ez sem szignifikáns, ha a 4. ábrán látható adatokhoz hasonló számú adatot generálunk. Ez a határozott alakzat azonban empirikusan elfogadhatatlan.

A helyzet némileg javul, ha a zajos modellt is megvizsgáljuk. A zaj additív és normális eloszlású nulla várható értékkel és 0,3 szórással. Mivel a BUX-indexnél is napi hozamokat vizsgáltunk, érdemes több időszakot tekinteni, ezért 5 időszakos késleltetést ábrázoltam. Az ábrában még felfedezhető valamilyen minta, a fraktál valamilyen halvány lenyomata. Ettől függetlenül egy ilyen jellegű ábra gyakorlatilag megkülönböztethetetlen a 4. ábrától.

Összességében tehát modellünkben az eggyel késleltetett hozamok függetlenek. Ez a függetlenség nem biztos, hogy a hatékony piacok hipotézisét támasztja alá, elképzelhetők olyan káoszelméleti modellek is, amelyek ilyenek. A zajos modellben hosszabb időtávon a valóságtól nyilvánvalóan idegen, tiszta fraktálszerkezet is eltűnik

Megjósolhatatlanság

A kaotikus modellek egyik legfontosabb tulajdonsága a megjósolhatatlanságuk. Ez azt jelenti, hogy ha a kezdőfeltétel megállapításában egy kicsit tévedünk, akkor néhány időszak után az ebből adódó becslési hiba nagyon gyorsan nő. Itt azt fogjuk vizsgálni, milyen módon mérhető ennek foka, és hogy modellünkben milyen nagyságrendű ez

A megjósolhatatlanság jellemzésére használják a Ljapunov-exponenst (l). A kaotikus rendszerekben két egymáshoz közeli pont távolsága exponenciálisan nő az időben. Amennyiben a két kezdeti pont x0 és y0, akkor ezek távolsága t idő elteltével (vagyis t darab iteráció után):

|xt-yt|=|x0-y0|e lt,

ahol l az ehhez a pontpárhoz tartozó lokális Ljapunov-exponens.

A Ljapunov-exponens értéke bizonyos esetekben kiszámítható analitikusan, de a legtöbb káoszelméleti modellnél nem. Ilyenkor szimulációt kell alkalmazni. Veszünk két egymáshoz nagyon közeli pontot a rendszer hosszú távú viselkedését leíró attraktoron, s megvizsgáljuk, hogy egy bizonyos időszak után mennyire kerülnek távol egymástól. Mikor ez megvan, akkor a fenti képlet segítségével kiszámíthatjuk a Ljapunov-exponenst. Nekünk azonban az adott paraméterekhez tartozó, adott rendszert leíró átlagos mennyiségre van szükségünk, ezért a lokális Ljapunov-exponensek átlagából kapjuk l átlagos Ljapunov-exponenst. Ezt pedig úgy számíthatjuk ki, ha az attraktor sok különböző pontjából elindítjuk a rendszert, és az így kapott Ljapunov-exponensek számtani átlagát tekintjük. A Ljapunov-exponens kiszámítása az általános módszer annak meghatározására, hogy az adott rendszer kaotikus-e a vizsgált paraméterértékek mellett. A kaotikus rendszerben a pontok exponenciálisan távolodnak, tehát ezekre szükségképpen l=0. Ez a kaotikus rendszerekre általában igaz. Ezért amennyiben ezt más vizsgálatok is megerősítik, 14 akkor a Ljapunov-exponens elég biztosan jelzi, hogy mely paraméterértékeknél jellemző a káosz. Az általunk vizsgált modellekben szerencsére ez a helyzet, mert a stabilizáló egyenlet miatt biztosak lehetünk abban, hogy a rendszer nem száll el. Vizsgáljuk meg az átlagos Ljapunov-exponenseket mutató ábrát! A 7. ábrán a g paraméter különböző értékeire vizsgáljuk az átlagos Ljapunov-exponens értékét.

Természetesen a többi paraméterre is érdemes lehet megvizsgálni egy hasonló ábrát, sőt esetleg több paraméterre egyszerre egy 3 dimenziós ábrát. Ennek azonban esetünkben nem túl nagy a jelentősége. Az ábrán láthatjuk, hogy bizonyos régiókban teljesül a káosz feltétele, például az általunk eddig általában vizsgált g = 2,8 értékre. A kaotikus tartomány nem egybefüggő terület, hanem szigeteket alkot a paramétertérben. A kaotikus régiókban tipikusan 0 és 3 között van a Ljapunov-exponens értéke, ami azt jelenti, hogy ha példáulpe1,t + 1, akkor egy időszak alatt -szeresére növekszik a két pont közötti távolság, vagyis tíz időszak alatt e10=22026-szorosára növekszik a kezdeti megfigyelési hiba a teljesen determinisztikus rendszerben. Az azért megnyugtató, hogy az alacsony, a valóságban inkább megjelenő paraméterértékekre a rendszerben vagy nincs káosz, vagy pedig nem ennyire nagy a Ljapunov-exponens. Ez a megjósolhatatlanság tényleges mértéke, amiből látjuk, hogy egy olyan időtávon, amely például egy opció lejárata, gyakorlatilag fogalmunk sem lesz arról, mekkora lesz az értékpapír ára, csak abban lehetünk biztosak, hogy a pont az attraktoron (vagy ahhoz nagyon közel) fog elhelyezkedni.

Összefoglalás

A dolgozat egy olyan modellt mutatott be, amely a pénzügyi piacokon jól alkalmazható. Sok empirikus és elméleti tény szól amellett, hogy a véletlen bolyongást feltételező modellek nem írják le tökéletesen a pénzügyi piacok viselkedését. A sztochasztikus modellek alkalmazását általában az indokolja, hogy az árak megjósolhatatlanok. A káoszelméleti modellekre is igaz ez, és a többi megfigyelhető jelenséget is reprodukálni lehet velük. Az ilyen modellek által előállítható alakzatok között vannak tényleg reménykeltőek is, amelyeket érdemes továbbfejleszteni. A káoszelméleti modellek mellett szól az is, hogy ezek nemlineáris folyamatokat tételeznek fel, míg a hagyományos pénzügyi modellekben egy lineáris folyamatra rakódik rá a zaj. Nem valószínű, hogy bármi is biztosítaná, hogy a pénzügyi folyamatok lineárisak legyenek, sőt ez ellentmond a bonyolult rendszerrel kapcsolatos intuíciónknak is. A nemlinearitás létezését nem sikerült még minden kétséget kizáróan bizonyítani a pénzügyi piacokon, bár számos teszt - és ezeket alkalmazó - tanulmány készült ebből a célból. A probléma valószínűleg nem az, hogy nem létezik nemlinearitás, hanem az, hogy a zajos kaotikus modelleket szinte lehetetlen megkülönböztetni a tisztán csak zajos modellektől. Ez a probléma feltehetően nem fog megoldódni a közeljövőben.

Káoszelméleti modellekkel foglalkozni ezért egyelőre inkább elméleti, mint gyakorlati szempontból érdekes, valószínűleg nem lehet velük sok pénzt keresni. Az ebben a tanulmányban ismertetett modell jelentősége is az, hogy megmutatja: a kaotikus viselkedéshez egyáltalán nem szükséges az, hogy a szereplők csak fokozatosan alkalmazkodjanak, hanem elegendő azt feltennünk, hogy a szereplők heterogének. Amennyiben ez kimutatható, és még az is, hogy ez a heterogenitás egy nemlineáris függvénnyel írható le, akkor könnyen lehet, hogy a piaci viselkedés bonyolult, esetleg kaotikus. Ilyen értelemben ez egy lehetőség arra, hogy megkeressük a nemlineáris piacokat és a nemlinearitás okait.

1 Az újklasszikusokról jó összefoglaló Hoover,1988

2 A továbbiakban a rövidség kedvéért ezeket részvénynek fogom nevezni, de a modell alkalmazható a többi pénzügyi termékre is

3 Erről a feltevésről jó összefoglaló: Malkiel, 1992

4 Ezen az elven működik a korrelációs dimenziót vizsgáló teszt. Ennek a tesztnek és több más, a nemlinearitást vizsgáló tesztnek a leírását megtalálhatjuk Barnett és Serletis (2000)-ben.

5 Ezek közül a legfontosabb a CAPM, amelyben egy részvény hozamát három faktorra bontja: a kockázatmentes kamatlábra, a bétára és a piaci hozamra. Hasonló példa az arbitrált árfolyamok elmélete (mindkettő részletes leírása: Bodie-Kane-Marcus, 1996) vagy például a hozamgörbe felbontása (Litterman és Scheinkman 1991).

6 Ez nem függ az i-től, mert nincs benne a költségkülönbség, amely az egyetlen olyan eleme a modellnek, amely a különböző szereplők számára különböző.

7 Ez az érvelés nem igaz pontosan, mert a részvény kockázata nagyobb, mint a bankbetété. Ezért a használt kamatláb magasabb a banki kamatlábnál, viszont az érvelés ugyanez, csak figyelembe kell venni a befektetők viszonyát a kockázathoz.

8 Ha az adott évben a vállalat nem fizet osztalékot.

9 Amennyiben a fundamentális ár véletlenszerűen változik, akkor ez a várakozásokon keresztül beviszi a zajt a fundamentális ártól való eltérést leíró folyamatba is.

10 Hogyha a tartója nem véges. Például a [0,1] intervallumon egyenletes eloszlású zaj esetén még mindig igaz az, hogy az attraktor korlátos halmaz része. Azonban például a normális eloszlású zaj esetén - melynek tartója nem véges - ez már nem igaz.

11 Az ábrakészítés e módját Száz 1999-ban találhatjuk meg,185-188. o.

12 A hozamot százalékban szokták számolni, de mivel a modell a fundamentális ártól való eltéréseket mutatja, ott százalékkal nincs értelme dolgozni, ezért választottam itt is ezt a módot.

13 A lineáris regresszióban a meredekség szignifikanciaszintje: p=0,27

14 Mint például az attraktor vagy a bifurkációs diagram vizsgálata

IRODALOM

Barnett, W. A. és Serletis, A. (2000). Martingales, Nonlinearity, and Chaos; Journal of Economic Dynamics and Control, 24, 703-724

Brock, W. A. és Hommes, C. H. (1998). Heterogeneous beliefs and routes to Chaos in a Simple Asset Pricing Model, Journal of Economic Dynamics and Control, 22, 1235-1274

Carter, R. B. és Van Auken H. E. (1990). Security Analysis and Portfolio Management: A Survey and Analysis, Journal of Portfolio Management, Spring 81-85.

Chiarella, C. (1992). The Dynamics of Speculative Behavior. Annales of Operations Research 37, 101-27

Gaunersdorfer, Hommes és Wagener (2001). Bifurcation Routes to Volatility Clustering, Timbergen Institute Discussion Paper, TI 2001-015/1; http://www.tinbergen.nl

Hommes, C. H. (2001). Financial Markets as Nonlinear Adaptive Evolutionary Systems; Research Paper, Quantitative Finance I: 149-167. http://www.quant.iop.org

Hoover, Kevin D. (1988). The New Classical Macroeconomics: A Skeptical Inquiry, Basil Blackwell

Litterman, R. és Scheinkman. J. (1991). Common Factors Affecting Bond Returns, The Journal of Fixed Income, June 1991, 54-61

Malkiel (1992). Bolyongás a Wall Streeten, Bankárképző

Száz János (1999). Tőzsdei opciók vételre és eladásra, Tanszék Kft.

Taylor, M. P. és Allen H. (1992). The Use of Technical Analysis in The Foreign Exchange Market, Journal of International Money and Finance, 11, 304-314


<-- Vissza az 2002/10. szám tartalomjegyzékére