2002/10.

Kaotikus és nemlineáris dinamika

Dinamikus piacok és irányítás1

Vizvári Béla

egyetemi docens, ELTE TTK, Operációkutatási Tanszék
vizvari@cs.elte.hu

Bevezetés

Mára a rendszer tudományos alapfogalommá vált. Olyan, önmagában is létező dolgot takar, amely részekből áll. Már az is rendszer, ha előre elkészített, szabványos alkatrészekből szekrénysorokat szerelhetünk össze. Ekkor a rendszer tulajdonképpen az az absztrakt fogalom, ami a felhasználható, azaz a mérnökök által megtervezett absztrakt alkatrészekből áll, amelyek példányait a szükségleteink és a pénztárcánk függvényében tetszőleges számban megvásárolhatjuk. Ez a rendszer holnap ugyanaz lesz, mint ma. Ha megváltozik, akkor nem magától változik meg, hanem külső hatásra, például valamely időközben felmerült igény hatására a mérnökök új alkatrészeket terveznek hozzá. Vannak olyan rendszerek, amelyek időben változnak, de ezt a változást külső erő mozgatja. Jellegzetes példája ennek nagymamánk kézzel tekerendő mákdarálója. Ahogy forgatjuk a kart, a daráló belseje is újabb és újabb helyzetekbe kerül. De nélkülünk a daráló mozdulatlanul, változatlan helyzetben maradna.

Dolgozatunkban olyan rendszerekről írunk, amelyek nemcsak változásokon mennek keresztül, hanem e változásokat - akarva-akaratlan - maguk irányítják, azaz visszahatnak önmagukra. Gondoljunk a légtornászra, akinek egy vékony kötélen kell végigmennie. Ha azt érzi, hogy balra dőlne, akkor olyan mozdulatot tesz, hogy jobbra térjen ki, és fordítva.

Egy termék piacát hagyományosan úgy tekintjük, hogy az nemcsak a tényleges vásárlókból és eladókból áll, hanem a potenciális vásárlókból és eladókból is. Minden - tényleges vagy potenciális - vásárlónak van értékítélete arról, hogy a termék mennyit ér. Ha a piaci ár alatta marad egy vásárló értékítéletének, azaz neki megéri megvenni a terméket, akkor az illető tényleges vásárló, ha viszont éppen ellenkezőleg, a piaci ár magasabb, akkor csak potenciális vásárlóról van szó az adott pillanatban. A potenciálisból akkor lesz tényleges vásárló, ha a piaci ár az ő értékítélete alá csökken. Megfordítva, ha a piaci ár egy vásárló értékítélete fölé nő, akkor ő ténylegesből potenciális vásárlóvá válik. Hasonló a helyzet a termék előállítóival, nevezetesen: mindazoknak megéri a termelés, akiknek a termelési költsége alacsonyabb a piaci árnál. Azok, akik ugyan elő tudnák állítani a terméket, de drágábban, csak potenciális termelők, hiszen jelenleg nekik nem kifizetődő ez a tevékenység. (Most eltekintünk attól az éles piaci versenytől, amelyben a terméket áron alul kínálják.)

Az ún. keresleti függvény minden egyes árhoz megadja, hogy azon az áron mennyit lehet eladni, ami nem más, mint azon vásárlók által vásárolt összmennyiség, akiknek az értékítélete legalább akkora, mint az adott ár. Hasonlóképpen a piac kínálati függvénye minden egyes árhoz megmondja, mekkora árumennyiség jelenik meg a piacon. Ez pedig azon termelők által előállított mennyiség, akiknek az önköltsége nem haladja meg a piaci árat.

A kereslet-kínálat törvénye azt jelenti, hogy a piacon mindenkor olyan ár alakul ki, hogy a kereslet egyensúlyban legyen a kínálattal. Ezt az árat figyelik a piac tényleges és potenciális szereplői, és ennek alapján döntenek jövőbeli szerepükről. Az eddigiekben vázolt mechanizmus különösen tisztán jelenik meg a szántóföldi növénytermesztés esetében. Az őszi betakarítás után a termés mennyiségétől függően kialakul az egyensúlyi ár. Minden tényleges és potenciális termelő ennek alapján dönti el, hogy a következő évben mennyit termel. A döntéshez persze korábbi információkat is felhasználhatnak. A döntés eredménye a következő évben az adott növény termesztésére felhasznált terület, amely meghatározza a következő évi termést. (Természetesen az időjárás valamekkora bizonytalanságot jelent.) Ez a folyamat következő időbeli sorrendjét jelenti: (1) kialakul a piaci ár, majd (2) a termelő megbecsli a következő évi árat (3), ez meghatározza a következő évi termést (4), a kereslet-kínálat törvénye alapján kialakul az új piaci ár. Ez a mechanizmus, amelyben jól látható módon a termelő árbecslésén keresztül a piac visszahat önmagára, a végtelenségig ismétlődik. Ez a visszahatás teszi a piacot dinamikus rendszerré. A piac mindenkori állapotát tehát a termék ára jellemzi. Az egymást követő árak sorozatát trajektóriának nevezzük. Hogy a trajektórián belül hogyan változik az ár, az jelenti a piac mozgását. Az eddig vázolt keretek nagyon sok mozgásformát tesznek lehetővé, éppúgy, ahogy nagyon keveset mondtunk egy vízről azzal, hogy folyó. Ettől még lehet csendesen hömpölygő folyam vagy éppen ellenkezőleg, vízesésekkel és zúgókkal tarkított vad hegyi folyó, lehet több száz vagy több ezer tonnás hajókat elbíró mély víz, avagy keskeny és sekély, amin legfeljebb csónakok közlekedhetnek.

Mielőtt tovább haladnánk, meg kell jegyezni, hogy a műszaki területen is vannak a vázolthoz nagyon hasonló módon végbemenő folyamatok. Az amplitúdómodulált rádióadók, pl. a középhullámon működő Kossuth-adó, állandó frekvenciát bocsátanak ki. A jel erősségét változtatják a leadni kívánt hangjel függvényében. Ilyenkor tehát nagyon fontos, hogy az alapjel frekvenciája állandó legyen, különben a vevőt hiába állítjuk az adóra, mert az adó állandóan "elmászik". Több különböző műszaki megoldás ismeretes az alapjel frekvenciájának stabilizálására. Az egyik, amikor meghatározott, egyenletes időközönként mintát vesznek a jelből (megfigyeljük az előző évi árat), az eltéréstől függő korrekciós jelet képezünk (megbecsüljük a jövő évi árat, és döntünk a termelés nagyságáról), végül ezt a korrekciót a jelhez adjuk (kialakul a következő évi ár). Világos, hogy ebben a mechanizmusban az adó visszahat önmagára, hiszen a jövőbeli állapota, azaz a később leadandó jel frekvenciája a jelenlegi állapottól, azaz a pillanatnyi frekvenciától függ. A továbbiakban a piac érdekesebb mozgásait elemezzük.

Remények és valóság a piacon, elméletben és a valóságban

Ha egy piac stabil, az ár változatlan, annak számos előnye van. Jól járnak mindazok a termelők, akiknek olyan technológiájuk van, amellyel önköltségük a piaci árnál alacsonyabb, hiszen állandó nyereségre tudnak szert tenni. Jól járnak a fogyasztók is, mert kiszámítható összeget kell költeniük.

A valódi piacok ritkán stabilak ennyire. Számtalan esetben kimutatható hosszabb-rövidebb ciklus a piacon. A mezőgazdasági termékek körében a leghíresebb az először az 1920-as évek végén detektált, és a hazai piacon is megfigyelhető sertésciklus. A valódi piac a ciklizálás mellett vagy helyett jóval bonyolultabb mozgásokra is képes. Például a burgonya hazai ára 1995-ben nagyon magas volt, mind nominál-, mind reálértékben hatalmas, új csúcsokat állított föl. Ezzel szemben 1997-ben Eladhatatlan burgonyahegyek címmel jelent meg cikk egy újságban. Valóban, olyan sok volt burgonya, hogy a kormánynak is lépnie kellett. 10 forintot ígért kilogrammonként mindenkinek, aki igazolt módon bizonyos intézményeknek (iskolák, óvodák, kórházak stb.) akár 0 Ft/kg-os áron elad burgonyát. Ez az intézkedés azzal egyenértékű, mintha egy 10 Ft/kg alsó intervenciós árat vezetett volna be, azaz ezen az áron minden burgonyát hajlandó lett volna felvásárolni. Az intervenciós ár jelentőségére a piac stabilizálásában még visszatérünk. 2002-ben a burgonya reálára jóval az 1995-ös szint alatt van. Nominálára magasabb, de ez az időközben bekövetkezett inflációnak tudható be. Mindebből egyelőre annyi a tanulság, hogy a burgonyapiacon ciklizálás nem figyelhető meg, de furcsa mozgások vannak, ami miatt az ár előrejelezhetősége is kérdéses lett.

Az, hogy egy piac milyen trajektória mentén mozog, a piac belső erőin túl függ attól is, hogy a trajektória honnan indult. Finkelstädt nyugat-németországi heti tojás-, sertés- és burgonyaárakat vizsgált. A sertésárak jól érzékelhető módon ciklizáltak az 1950-es és 1960-as években. A 70-es évek elején az olajválság ezt a piacot is sokkolta. Miután a sokkhatás megszűnt, és az árak visszatértek a normális nagyságrendbe, a piac szemmel láthatólag egészen más típusú trajektória mentén haladt tovább. Mindez azt is jelenti, hogy ha a piacon az ár nem állandó, attól még létezhet olyan, úgynevezett fixponti ár, amely állandó maradna, ha egyszer a piac oda el tudna jutni. Azonban az kellene, hogy az ár abszolút pontosan ez a fixponti ár legyen, mert már a legkisebb eltérés is bonyolultabb mozgásra készteti a rendszert. A gyakorlatban természetesen ez az abszolút pontosság nem érhető el, hiszen kisebb-nagyobb ingadozások mindig előfordulnak. Ezért a valóságban is állandó árat stabil, a csak elméletben létező, de a gyakorlatban soha el nem érhető állandó árat instabil fixponti árnak nevezzük. A stabil fixponti árra viszont az jellemző, hogy legalábbis egy bizonyos tartományon belül, ha valamely külső vagy véletlen ok hatására az ár el is tér a fixponti ártól, a trajektória vissza fog térni ahhoz. Ez ahhoz hasonlatos, mint amikor egy üvegkehelybe egy kis golyót ejtünk, amely rövid idő után a kehely legalsó pontjára jut. Hiába rázzuk meg a kelyhet, és térítjük ki a golyót a helyzetéből, az mindig visszatér ebbe a stabil helyzetébe.

Érdekességként megemlítjük: a rádiós példa esetében is előfordul, hogy a rendszer ahelyett, hogy a fixpontban maradna, bonyolult mozgást végez. A kibocsátott furcsa, kellemetlen hangok hallatán szoktuk azt mondani, hogy a berendezés "begerjedt". Jellegzetesen ez fordul elő olyan műsorok esetében, amelyekbe a hallgató betelefonálhat, és a háttérben ugyanaz a műsor szól. Ekkor ismét azzal van dolgunk, hogy a rendszer korábbi állapota, az egy pillanattal korábban leadott hang visszahat a rendszer későbbi állapotára. Ennek a visszahatásnak az eredménye mindenképpen eltéríti a rendszert attól, amit csinálnia kellene, azaz a telefonbeszélgetés tiszta közvetítésétől, és rövid időn belül kellemetlen, torz hangokat hallunk. Ezt megelőzendő kéri meg a műsorvezető a betelefonálót, hogy halkítsa le saját készülékét.

Érdemes néhány kérdést felvetni.

Hátrányos-e a termelőnek a ciklizáló vagy egyéb bonyolult mozgást végző piac? A termelőnek hosszú idő átlagában vett haszna ekkor is van. Ezt kell összehasonlítani azzal a haszonnal, amelyhez akkor jutna, ha a piaci ár az instabil fixponti ár volna. Ha ez az utóbbi magasabb, akkor egyértelmű, hogy a termelő rosszul jár amiatt, hogy a piac nem stabil, hanem bonyolult trajektória mentén mozog. Ha viszont fordított a helyzet (ez ritka, de nem kizárható eset), akkor a termelő tulajdonképpen jobban jár azzal, hogy az ár nem stabil. Ilyenkor azonban évről évre erő sen változik a jövedelem. Emiatt a nyereség egy részét a jó évekről át kell vinnie a rossz évekre tartaléknak. Ennek a transzfernek is költsége van. Sajnos a gyakorlatban a transzfer többnyire el is marad. Emiatt aztán még ebben az előnyös esetben is a termelő szubjektíve úgy érezheti, hogy rosszul jár. Így felmerül a piac stabilizálásának igénye.

Mikor van értelme a stabilizációnak? Közgazdasági környezetben a stabilizációra sokkal szigorúbb feltételek adódnak, mint műszaki esetben. Egy rádió adóállomásának berendezése másodpercenként sok százezer vagy millió rezgést végez. A bekapcsolástól az adás megkezdéséig akár több perc is eltelhet, amíg az adó bemelegszik. Ennyi idő alatt rengeteg mintavételezés és korrekció hajtható végre. Ezzel szemben a bennünket érdeklő agrárpiacon minden egyes iteráció, ami a rádió esetében egy mintavételnek felel meg, egy év. Nyilvánvalóan értelmetlen lenne, hogy a stabilizálás csak sok millió minta, azaz sok millió év után következzék be. Mivel a stabilizációhoz pénzre lesz szükség, egy kormány csak akkor szánhatja el magát rá, ha bizonyítani tudja, hogy a ráfordításnak haszna van. Ezt a követelményt általánosságban arra lehet lefordítani, hogy öt éven belül meg kell tudni közelíteni a beavatkozás eredményeként instabil fixpontot.

A mozgásformák

A fentiekben már említettük a dinamikus rendszerek lehetséges mozgásai közül a két legegyszerűbbet, azt amikor a rendszer egy fixpontban van, azaz hétköznapi fogalmaink szerint nem mozog, és azt, amikor ciklizál. Nincs teljes osztályozásunk az összes lehetséges mozgásra. Kettő mégis jól elkülöníthető.

Képzeljük magunk elé egy autógumi belsejét vagy a gyerekek úszógumiját. Ugyanilyen, a geometriában tórusznak nevezett alakzatot kapunk, ha egy rugalmas cső egyik végét visszahajlítjuk, és a másik végébe illesztjük. Tegyük fel, hogy egy fazekaskorong előtt ülünk, és a gumibelső a korongon pihen. Ha egy vízszintes síkkal gondolatban elvágnánk a tóruszt, akkor a fala két koncentrikus kört adna. Ha függőleges síkkal metszenénk el, akkor pedig ugyancsak két kört kapnánk, melyek távolságát a gumibelső átmérője szabná meg. Tehát a tóruszra vízszintesen is és függőlegesen is kört tudunk rajzolni. Tegyük meg az utóbbit egyenletes sebességgel, és akkor se álljunk meg, ha már körbeértünk. Közben egyenletesen forgassuk a korongot. Ha a két körmozgás ideje összemérhető, azaz van egy olyan időtartam, amely mindkét körmozgás egyszeri körbefordulási idejének többszöröse, akkor ceruzánk vissza fog térni a kiindulási pontba. Ekkor a rendszer nagyon bonyolult módon ugyan, de ciklizál. Ha viszont ilyen közös többszörös nincs, azaz a két körmozgás ciklusideje nem összemérhető, akkor ceruzánk hegye soha nem tér vissza egy olyan pontba, ahol már volt. Az általa rajzolt vonal pedig teljesen sűrűn behálózná a tórusz felületét anélkül, hogy minden pontba eljutnánk. De ha végtelen ideig végeznénk a rajzolást, akkor minden pontot tetszőleges pontossággal megközelítenénk.

Még ennél is bonyolultabb mozgás a káosz. Nincs egységesen elfogadott matematikai definíciója annak, hogy mikor nevezünk egy mozgást kaotikusnak, hanem számos, egymással nem egyenértékű meghatározás ismert. Mindegyik a következő szemléletes képet akarja egzakt formulákba önteni: (a) a mozgás egy korlátos tartományban zajlik, (b) a mozgás kiindulópontjában bekövetkező legkisebb változás is a trajektóriák jelentős eltávolodását okozhatja, (c) annak ellenére, hogy ismerjük a mozgást leíró törvényszerűséget, hosszabb távon nem tudjuk megjósolni, hogy egy adott pillanatban hol leszünk. Az (a) követelmény olyan, mintha egy legyet bezárnánk egy szobába, és az össze-vissza röpköd. A (b)-t szokták pillangó-effektusnak nevezni azért. Az időjárás ilyen érzékeny rendszer. A mai európai időjárás függ attól, hogy pár napja Ausztráliában egy bizonyos lepke lebegtette-e a szárnyát vagy sem. Ha egy futópályán ketten futnak egyenletes, de nem azonos sebességgel, akkor az (a) és (b) követelmény tetszőleges kiinduló helyzet esetén is teljesül, míg (c) nem, mert mindig pontosan meg tudjuk mondani, hogy a futóknak hol kell lenniük.

Annak ellenére, hogy nincs egységes definíció, van két mérőszám, amelyek megfelelő értékei mellett az (a) feltétel teljesülése esetén káoszról beszélünk. A (b) követelményhez kapcsolódva az ún. Ljapunov-exponens azt méri, milyen gyorsan távolodnak egymástól az egymáshoz közeli pontokból induló trajektóriák. A Ljapunov-exponenst úgy állapították meg, hogy ha a köznapi értelemben a trajektóriák nem távolodnak, hanem közelednek egymáshoz, akkor az értéke negatív, ha nagyjából azonos távolságban maradnak, akkor nulla, míg ha gyorsan távolodnak egymástól, akkor pozitív. Tehát ez az utóbbi érték vall a káoszra. A köznapi életben előforduló alakzatok, például pont, egyenes, síkidomok dimenzióját ismerjük, ami rendre 0, 1 és 2. Ugyancsak 2 a dimenziója a gömb, a kocka és más alakzatok felületének. Vannak olyan lyukacsos szerkezetű alakzatok, amelyek nem teljesen töltik ki a teret vagy annak egy részét. Hausdorff nevéhez fűződik a finom elemzés segítségével bevezetett dimenziófogalom, amely a szokásos alakzatok esetében megegyezik a megszokott 0, 1, 2 stb. dimenzióval, de az említett lyukacsos szerkezetű alakzatoknál tört értéket is felvehet.

Az egyik legegyszerűbb ilyen furcsa alakzat a Cantor-halmaz, amelyet Georg Cantor, a halmazelmélet kidolgozója talált meg. A Cantor-halmaz a [0,1] intervallum azon pontjaiból áll, melyeknek a hármas számrendszerben felírt végtelen tizedes alakjában jegyei közt nem szerepel az 1, csak 0 és 2. (Ha egy szám felírható volna véges sok jegygyel úgy, hogy csak az utolsó jegy volna 1, akkor ezt az egyest helyettesítjük egy nullával és mögötte álló végtelen sok kettessel.) Ehhez az alakzathoz egy olyan végtelen sorozattal juthatunk el, amelynek első tagja maga a [0,1] intervallum. A sorozat minden következő tagja úgy keletkezik az őt közvetlenül megelőzőből, hogy az utóbbi összes szakaszából kivágjuk a középső harmadot. A Cantor-halmaz dimenziója log 2/log 3. Az ilyen tört értékű dimenzióval jellemezhető halmazt fraktálnak nevezik. Jó bevezetést nyújt elméletükbe Fokasz (1997) könyve, amely a Cantor-halmazt is részletesen tárgyalja.

Ha egy dinamikus rendszer végtelen ideig működik, akkor minden határon túl megközelít egy bizonyos halmazt, amit a rendszer attraktorának nevezünk. Ha ennek az attraktornak a dimenziója nem egész, akkor ismét kaotikusnak gondoljuk a rendszert. Általánosságban nagyon nehéz volna egy többszörösen implicit módon megadott halmaz dimenzióját meghatározni. Ezért az eredeti Hausdorff-dimenzió több közelítését is kidolgozták, amelyek arra is alkalmasak, hogy egy-egy konkrét alakzat esetében kimérjük őket.

Az attraktor dimenzióját a trajektória dimenziójával mérjük. A trajektória a piac esetében azonban árak sorozata, minden ár egy valós szám, lehetséges-e itt egyáltalán egynél magasabb dimenziót várni? Az alábbi megfontolás és az azt alátámasztó matematikai elmélet szerint a kérdésre igen a válasz. A piac és a rádióadó sokkal bonyolultabb annál, hogy egyetlen árból, illetve egyetlen frekvenciából álljon. Az ár, illetve a frekvencia a rendszer egy paramétere, ami megfigyelhető. A rendszernek lehetnek más paraméterei is, amelyeket nem akarunk, esetleg nem is tudunk megfigyelni. Ezek a további paraméterek bonyolult, dinamikus kapcsolatban lehetnek egymással, melyről esetleg nincs is tudomásunk, hisz a dinamikus rendszer létezéséről és viselkedéséről sokszor csak megfigyelés útján van tudomásunk anélkül, hogy bármiféle egzakt leírásunk lenne. Az említett matematikai elmélet szerint a dinamikus rendszer egyetlen megfigyelt paraméterből is rekonstruálható, illetve vele ekvivalens rendszer építhető fel a következő módon.

Tegyük fel, hogy a trajektória egymást követő értékei p1 , p 2 , ... Legyen n egy elegendően nagy pozitív egész, k pedig egy másik pozitív egész. A trajektória értékeiből n-dimenziós vektorokat képezünk úgy, hogy n számú, egymástól k távolságra lévő értéket fogunk össze egy vektorba. Így a pontokat nyerjük. Ezen n dimenziós pontok halmazának már meghatározható a dimenziója, hiszen a vektorok mind ismertek, tekintettel arra, hogy csak megfigyelt értékeket tartalmaznak.

(p1,p1+k,p 1+2k,...,p1+(n-1)k),

(p2,p2+k,p 2+2k,...,p2+(n-1)k),

(p3,p3+k,p 3+2k,...,p3+(n-1)k),

A matematikai modellekről

Ebben a dolgozatban csak olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyek az ún. diszkrét időfogalomra épülnek. A diszkrét időfogalom azt jelenti, hogy a modellben az idő nem folyamatosan változik, hanem egyik időpontról átugrunk a másikra. A növénytermesztés esetében pontosan erről van szó, hiszen nem folyamatosan aratunk, hanem évente egyszer. Azaz egyik aratásról/évről átugrunk a következő aratásra/évre.

Tegyük fel, hogy a rendszerünk m érték között létesít dinamikus kapcsolatot, melyek értéke a t időpontban legyen xt1, xt2, ..., xtm. A dinamikus rendszert az alábbi egyenletek írják le:

(1)

xt+1,1 = f1 (xt1, xt2, ..., xtm )

xt+1,2 = f2 (xt1 , t2, ..., xtm )

xt+1,m = fm (xt1, t2, ..., xtm )

ahol f1, f2, ..., fm alkalmas függvények.

Fontos matematikai tény, hogy amennyiben f1, f2, ..., fm lineáris függvény, azaz alkalmas aij és bi együtthatók mellett és a trajektória egy korlátos tartományban marad, akkor dinamikus rendszer lehetséges mozgásformái: a rendszer egy fixpontban van, egy fixponthoz konvergál és ciklizál. A káosz és más bonyolult mozgásformák tehát ebben az esetben kizártak.

(2)

xt+1,1=11xt1+a12xt2+...+ a1mxtm+b 1

xt+1,2=a21xt1+a22xt2+...+ a2mxtm+b 2

xt+1,m=am1xt1+am2xt2+...+ammxtm+ bm

Megfordítva ez azt jelenti, hogy ha egy rendszerben olyan mozgásformát figyelünk meg, amely lineáris modell mellett nem lehetséges, akkor bizonyosan csak olyan modellel lehet kielégítő módon leírni, amely nemlineáris elemeket is tartalmaz.

Ez egyúttal a legegyszerűbb piacot stabilizálni kívánó állami beavatkozás, az intervenciós ár kritikája. Az alsó intervenciós ár a termelőt védi attól, hogy a termék ára túl alacsony legyen, ami miatt a termelő túl alacsony jövedelemre tenne szert, azaz ezen az áron az állam mindent felvásárol. A felső intervenciós ár pedig a fogyasztót védi a túl magas ártól. Ha az ár e szint fölé nőne, akkor az állam a saját készleteiből vagy importból az intervenciós áron piacra dobja a terméket, hogy az ár ne emelkedjen lehetetlenül magasra. Bármelyik intervenciós ár megtöri a piac esetleges linearitását. Nemlineáris piac esetén a nemlinearitást azonban nem tudja eltüntetni. Tehát az intervenciós ár olyan nemlinearitást hoz be, ami ugyan nem szükségképpen vezet káoszhoz, de ahhoz vezethet, mint azt alább látni fogjuk. Ez ellen csak az véd biztosan, ha a két intervenciós ár nagyon közel van egymáshoz, azaz az állam lényegében meghatározza az árat.

Meg kell jegyezni, hogy mivel negatív ár nincs, ezért a 0 matematikai értelemben mindig alsó intervenciós árként működik. Tehát tökéletesen lineáris piac nem létezik.

Jelölje pet az árat, amit a termelő a t időpontra vár, míg ugyanebben az időpontban a tényleges árat a korábbiakhoz hasonlóan pt. A folyamat időbeli lefutásának fenti elemzése szerint a piacra kerülő mennyiség pet -től függ, ami pedig meghatározza a piaci árat. Legyen S(pe t), illetve D(pt ) a kínálati, illetve keresleti függvény. A piac egyensúlyát a

(3)

D(pt) = S(pet)

egyenlet írja le. Ebből fejezendő ki pt. Természetesen ismerni kell a termelő árbecslési módszerét is, amit egy újabb

(4)

pe t= g(.)

egyenlettel adhatunk meg. A jobb oldal g függvényének változóit nem adtuk meg, mert azok a konkrét módszertől függnek. Természetes azt feltételezni, hogy abban az előző piaci és várt ár(ak) szerepelnek.

Az egész mechanizmus legfeltáratlanabb területe a valódi termelő becslési módszere, illetve az, hogy ezt mivel lehet jól közelíteni. Annak ellenére így van ez, hogy az elméleti közgazdasági irodalom számos módszert ismer (Kovács és mtársai, 2001). Egyes újabb vizsgálatok (Bacsi és mtársai, 2000; Hajdú és Lakner, 2000; Lakner és Stummer, 1996; Mellár és Rappai, 1993; Vizvári és Rémik, 2002) azt mutatják, hogy az ún. adaptív, illetve extrapolatív árvárakozás a magyar termelő esetében jó közelítést adhat. Az adaptív becslést Nerlove (1958) vezette be. Képlete:

(5)

pe t = pet_1 + a( pt_1 - pet-1)

ahol a 0 és 1 közé eső állandó. A formula mögötti gondolat az, hogy a termelő tanul a piaci folyamatokból úgy, hogy becslését annak hibája mértékével arányosan módosítja. A módszert 1958-ban elméleti lehetőségként vetette fel Nerlove abban a reményben, hogy a múltból való tanulás stabilizálhatja a piacot. Akkor még a káoszelmélet nem épült be a közgazdaságtanba, így nem tudhatta, hogy a remény nem megalapozott. Az extrapolatív becslés nagyon hasonló, de itt a várt árat az utolsó árnak az utolsó árváltozással arányos változtatásával nyerjük:

(6)

pe t = p t_1 + (a - 1)( p t_1 - pt_2) = = apt_1 + (1 - a)pt_2 ,

ahol a nemnegatív konstans.

A kínálati függvény azon a hipotézisen alapul, hogy a termelt mennyiség maximalizálja a termelő hasznát, feltéve, hogy a piaci ár azonos a várt árral, és az összes megtermelt mennyiség elfogy. Ez tehát nem jelenti azt, hogy a termelő a termés mennyiségének maximalizálására törekedne. Ugyanis egy bizonyos határ fölött a termelési költség növekedése egyre gyorsul (növénytermesztés esetében például egyre több vegyszert kellene felhasználni a hozam növelésére). Ezen a szakaszon tehát a költségfüggvény már konvex lesz, ami másodfokú függvénnyel jól közelíthető. A hazai burgonyapiacra kidolgozott, alább ismertetendő modell esetében is ezt alkalmaztuk.

A hazai burgonyapiac

A fentiekben kifejtett elveknek megfelelően dolgoztuk ki a hazai burgonyapiac modelljét. A burgonya sok tekintetben ideális a fenti gondolati keretek szempontjából. Termesztésének technológiája rendkívül egyszerű. A piacra való be- és kilépés, azaz a termesztés beindítása és felhagyása gyakorlatilag nem igényel külön költséget. Ennek is köszönhető, hogy a termelés zöme, nevezetesen legalább kétharmada, mindig is a kistermelők kezében volt. Emiatt a kereslet-kínálat törvénye mindig érvényesült ezen a piacon, ami nem mondható el például a búzáról, amit a rendszerváltásig szinte kizárólag a nagygazdaságok termesztettek.

Feltettük, hogy létezik alsó és felső intervenciós ár, amelyek egymástól távol esnek. A keresleti függvényt lineáris alakban közelítettük, azaz

(7)

D (pt) = d + Dpt

Itt d az a mennyiség, amennyit egy év alatt burgonyából el lehet fogyasztani 0 Ft/kg-os áron, azaz akkor, ha ingyen osztogatnák. Ez a rendelkezésre álló adatokból többszörösen ellenőrzött módon számolva 2 millió tonna, azaz fejenként évi 200 kg. A másik paraméter, D, negatív, hiszen minél magasabb az ár, annál alacsonyabb a fogyasztás. D a piacnak az árra való érzékenységét fejezi ki: minél nagyobb az abszolút értéke, annál jobban megváltozik a fogyasztás ugyanakkora árváltozás esetén. D értékét nehéz pontosan megbecsülni. Az biztos, hogy a [-100,0] intervallumba esik. Nagy valószínűséggel ez leszűkíthető a [-70,-30] tartományra.

A modell szintjén a nagytermelőket és a kistermelőket is külön-külön reprezentáltuk egyetlen "metatermelővel". Megvizsgáltuk mind az adaptív, mind az extrapolatív árvárakozás esetét.

Az eredményeket ábrákkal, ún. bifurkációs diagramokkal szemléltetjük. A bifurkációs diagram egy dinamikus rendszer viselkedését mutatja, miközben a rendszer egy paramétere változik. Feltesszük, hogy a trajektória pontjai egyetlen számmal jellemezhetők, ami, piaci árról lévén szó, esetünkben természetesen teljesül. A rendszer viselkedésén azt értjük, hogy milyen mozgásformát mutat. A bifurkációs diagram készítése azon a feltételezésen alapul, hogy egy bizonyos átmeneti, sokszor tranziensnek nevezett szakasz után (ez az rádióadó esetében a berendezés bemelegedésének időszaka) a rendszer mozgása már azt a formát mutatja, ami az adott helyzetben, azaz a paraméterek adott értékei mellett jellemzi. Tehát ha a rendszer egy fixpontban van vagy ahhoz konvergál, akkor a tranziens időszak után a rendszert gyakorlatilag mindig ugyanott látjuk, míg ha ciklizál, akkor elhanyagolható eltérésektől eltekintve mindössze néhány pontban figyelhetjük meg. A bifurkációs diagram úgy készül, hogy szimuláljuk a rendszer működését, miközben feljegyezzük, milyen trajektóriát futott be a változtatandó paraméter minden egyes értéke mellett. Minden egyes trajektóriából elhagyunk egy legalább olyan hosszú szakaszt, amilyennek a tranziens periódust gondoljuk, és a trajektória megmaradt részét ábrázoljuk azon a síkon, ahol a vízszintes tengelyen a változtatandó paraméter értékét, a függőleges tengelyen a trajektória értékét tüntetjük fel.

Az 1. ábrán a magyar burgonyapiac érzékenységét leíró D paraméter szerinti bifurkációs diagram látható. Figyeljük meg a [-58,-54] intervallumban található zavaros részt. Ebben a tartományban, amelyhez a valós érték nagyon közel lehet, a rendszer kaotikusan viselkedik. Ezt a megállapítást támasztja alá, hogy ugyanitt a Ljapunov-exponens pozitív, a trajektória dimenziója tört (2. és 3. ábra).

1. ábra • Az extrapolatív modell bifurkációs diagramja D szerint

2. ábra • A Ljapunov-exponens az extrapolatív modell esetén

3. ábra • A trajektória dimenziója az adaptív modell esetén

4. ábra • A trajektória dimenziója az adaptív modell esetén

5. ábra • Bifurkációs diagram a felső intervenciós ár szerint az extrapolatív modell esetén

Az adaptív modellnek két kaotikus tartománya is van, azonban ezek valamelyest távolabb esnek attól, ahova a valódi piac D értéke várható. A piac azonban itt sem nyugodt, mert sok esetben ciklizál. Ahogy fentebb már említettük, instabil fixpont akkor is létezhet, ha a rendszer jellemző mozgásformája nem a fixpontban való tartózkodás. Érdemes összehasonlítani az adott trajektóriára jellemző átlagos hasznot az instabil fixpontban elérhető haszonnal. Esetünkben (4. ábra) mindig az utóbbi a magasabb. Ha tehát a kormányzat stabilizálná a piacot, akkor a termelő hosszú idő átlagában annyival több jövedelemre tenne szert, amennyi a kettő különbsége. Ki kell térni az intervenciós árak hatására. Ezt egy olyan bifurkációs diagrammal szemléltetjük (5. ábra) , amelyen az alsó intervenciós ár rögzített, a felső pedig változik. Az ábrából az következik, hogy az intervenciós árat nagyon gondosan kell megválasztani, mert különben hosszabb távon éppen a stabilizálás céljából bevezetett korlát, az intervenciós ár generál káoszt.

A stabilizálás

Mivel a közelmúltban a hazai burgonyapiac nagyon nyugtalan volt, felmerül a kérdés, miként lehetne ezt vagy általában véve bármilyen piacot stabilizálni.

A stabilizálásnak több formája is elképzelhető. Ahogy említettük, ha az alsó és felső intervenciós ár nagyon közeli, akkor természetesen az ár alig mozoghat, azonban ez túl erős állami beavatkozást igényel. Egy másik lehetőség volna az Európai Unióban is ismert lefölözéses rendszer. Ez úgy működik, hogy ha az ár túl magas, akkor a termelők az elért eladási ár egy részét befizetik egy központi alapba, míg ha az ár túl alacsony, akkor ugyanebből az alapból kapnak támogatást. Ehhez nyilvántartott termelők és teljesen nyilvános kereskedés szükséges, ami igen messze áll a jelenlegi magyar gyakorlattól.

Ezért a stabilizálásnak olyan lehetőségeit vizsgáljuk, amelyekben az állam piaci szereplőként viselkedik: ha túl magas az ár, akkor elad, például importból származó terméket, ha túl alacsony, akkor felvásárol. Ahogy fentebb már megállapítottuk, a stabilizálásnak akkor van értelme, ha az legfeljebb öt iteráción belül bekövetkezik. Könnyebbség viszont, hogy nem kell teljesen elérni a fixpontot, elegendő csak megközelíteni, hiszen a mezőgazdasági árak valamennyire mindig bizonytalanok. Szimulációs kísérleteinkben ezt a határt 5 %-ban húztuk meg

Láttuk, hogy a műszaki tudományok a stabilizálás problémáját már korábban felvetették. Az ott használt módszerek egzakt matematikai alapokra, a káoszelméletre, illetve általánosabban a dinamikus rendszerek elméletére épülnek. Ez utóbbi elmélet szinte kizárólag a függvénynek a deriváltjából származó elsőrendű közelítését használja. A függvény deriváltja segítségével, amenynyiben egyáltalán a derivált létezik, felírható egy lineáris függvény, amelynek értéke abban a pontban, ahol a deriváltat vettük, megegyezik a függvény értékével, és az ilyen tulajdonságú lineáris függvények közül a lehető legjobban simul magához a függvényhez, ezért ebben az értelemben a függvény legjobb lineáris közelítése. Mi két ismert módszert adaptáltunk a magyar burgonyapiac modelljére. Mindkettő teljesítette a fent megfogalmazott követelményeket.

A lineáris összekapcsolás módszere

Nevezzük a rendszer hibájának egy adott pontban a trajektória eltérését az elérni kívánt fixponttól. Ha a trajektória pontjai számok, akkor a hiba is egy előjeles valós szám. Ekkor a lineáris összekapcsolás módszerének lényege az, hogy a a rendszernek korábbi hibájától, illetve ha az új állapot több korábbi állapotától is függ, akkor korábbi hibáitól lineárisan függő impulzust adunk, amely a trajektóriát a fixpont irányába téríti el. Ezt úgy kell tenni, hogy a hibákra felírható (egyébként csak közelítő) egyenletnek megfelelő dinamikus rendszernek 0 stabil fixpontja legyen, ami tehát azt jelenti, hogy a hibák 0-hoz konvergálnak.

Példaként ezt az elvet abban az esetben foglaljuk képletekbe, amikor a rendszer új állapota a két legutolsó állapotától függ, éppúgy, ahogy ez az extrapolatív modellben van.

Legyen p az az instabil fixpont, amelyben stabilizálni szeretnénk a rendszert, amelynek egyenlete az irányítás nélküli esetben

(8)

yt = f(yt_1 , yt_2),

ahol feltételezésünk szerint f egy alkalmas, folytonosan differenciálható függvény. Mivel p fixpont,

(9)

p=f(p,p)

Az irányított esetben természetesen a rendszer trajektóriáját nem a (8) egyenlet alapján kell számítani, hanem azon egyenlet szerint, amely már a rendszer említett, e-nal jelölt hibáját is figyelembe veszi, azaz az

(10)

p t =f(p t_1, p t_2) +K 1 e t_1 +K 2 e t_2

ahol általában

et = pt - p ,

K1 és K2 állandók, továbbá az eltérő trajektória miatt jelöltük a változót más betűvel. A (p,p) pontban legyen az f függvény két változója szerinti két parciális deriváltja f1 és f2. Ekkor az f függvénynek a szakasz bevezetőjében említett lineáris közelítését felhasználva az eredeti rendszer hibájára az alábbi dinamikus rendszert kapjuk:

(11)

et=(f1+K1) et_1+(f2+K2) et_2

Belátható, hogy a (11) dinamikus rendszernek a 0 akkor és csak akkor stabil fixpontja, ha az alábbi három egyenlőtlenség teljesül:

(12)

-(f2 + K2) << 1 ;

-(f2 + K2) > f1 + K1 -1 ;

-(f2 + K2) > -f1 - K1 -1 .

Könnyen látható, hogy a (K =-f 1, K2 =1-f2) pont mindig a feltételek meghatározta háromszög belsejében van, így (12) mindig kielégíthető, azaz a keresett irányítás mindig létezik (6. ábra). Nem ennyire egyszerű a helyzet, ha az eredeti rendszerben az új állapot három vagy több korábbi állapottól függ. Ekkor a (11) helyébe lépő feltételrendszer elveszti linearitását, és egyre több egyenlőtlenséget tartalmaz.

6. ábra • A lineáris összekapcsolás módszere. A háromszög minden jelölt pontjában5 iteráció alatt a rendszer az instabil fixpont 5 %-os környezetébe került. A háromszög közepén külön jelölt pontok esetében 10 iteráción belül az 1 %-os hibahatárt is sikerült elérni. D=-54.4.

Az állami beavatkozás nagyságát az

(13)

f1 + K1)e t_1 + (f2 +K2) et_2

érték határozza meg. Ennyivel kell eltéríteni az árat, amit a termék mennyiségére a piac érzékenysége alapján lehet átszámítani.

Az OGY-módszer

A három kidolgozó (Ott, Grebogi és Yorke, 1990) nevének kezdőbetűiről elnevezett módszer eredeti megfogalmazásában jellegzetesen fizikai rendszerek stabilizálására való, ugyanis a szerzők azt javasolják, hogy az irányítást csak akkor kapcsoljuk be, ha a trajektória éppen az elérni kívánt instabil fixpont közelében halad el. Azonban kiderült, hogy az eljárás máskor is alkalmazható, például akkor, ha a rendszer ciklizál, így tulajdonképpen meg sem közelíti a fixpontot.

Az OGY-módszer azt feltételezi, hogy a rendszer pillanatnyi állapotát nem pusztán a trajektóriája, azaz a múltja határozza meg, hanem ezen felül még bizonyos paraméterek is, melyek az ellenőrzésünk alatt állnak. Műszaki berendezéseknél ilyen paraméter lehet valamely változtatható elektromos ellenállás vagy kapacitás pillanatnyi értéke. Most nem követeljük meg, hogy a trajektória pontjait egyetlen valós számmal lehessen jellemezni, hanem éppen ellenkezőleg, azokat az m - dimenziós euklideszi tér pontjainak tekintjük. Épp ezért feltesszük: elegendő számú független paraméter van ahhoz, hogy ezek alkalmas megválasztásával a kívánt módon tudjuk irányítani a rendszert. Itt most nincs mód pontosan elemezni, hogy matematikailag mit jelent ez az utóbbi feltevés. Legyen (r, p) az instabil fixpont és a hozzá tartozó paraméterérték, ahol a rendszert stabilizálni szeretnénk. Tegyük fel, hogy a paraméter nem változik. Ekkor dinamikus rendszerünk ugyanolyan paraméter nélküli rendszer, mint bármelyik, amelyről eddig beszéltünk. A rendszer egyenlete a rögzített paraméterérték mellett

(14)

rt = f(rt -1,p)

míg általában

(15)

rt = f (rt_1,pt)

mely utóbbi egyenlet azt jelenti, hogy menet közben kell meghatározni a paraméter mindenkori értékét. De térjünk vissza a (14) egyenlet meghatározta rendszerhez, amely, mint említettük, tulajdonképpen egy paraméter nélküli eset.

Egy dinamikus rendszernek valamely fixpontja (esetleg szűk) környezetében való viselkedését deriváltjának tulajdonságai határozzák meg. A (14) egyenletnek a derivált segítségével felírt lineáris közelítése

(16)

rt » f(r,p) + J(rt_1 - r)

ahol J az f függvény r szerinti parciális deriváltjaiból alkotott Jacobi-mátrixa, melynek mérete m´m. Az (16) egyenletből az látható, hogy a trajektória következő pontjának távolsága a fixponttól hozzávetőlegesen

(17)

J(r

ahol tehát a rt_1 - r vektor a pillanatnyi pont eltérése a fixponttól. Ezért a fixpont stabilitási tulajdonságait a

(18)

Jx

lineáris függvény határozza meg, amely a dinamikus változók terét önmagára képezi le. A Jx függvény egyes irányokba nyújthatja, másokba összehúzhatja a teret. Ha a l rögzített szám és x (l) olyan vektor, hogy teljesül a

(19)

lx(l) = Jx(l),

akkor a l számot a J mátrix sajátértékének, az x (l) vektort pedig a l sajátértékhez tartozó sajátvektornak nevezzük. Ha l abszolút értéke 1-nél kisebb, akkor a (18) lineáris függvény az x (l) irányában összehúzza a teret, ha pedig 1-nél nagyobb, akkor nyújtja.

A dinamikus rendszerek elméletében matematikailag nem teljesen korrekt módon felteszik, hogy a J mátrixnak annyi sajátvektora van, amennyi a mérete, azaz m. A feltevés alapja, hogy minden más eset együttes valószínűsége elhanyagolható. Ha a (18) függvény minden sajátvektor irányában összehúzza a teret, akkor a fixpont stabil. Káosz kialakulására akkor van mód, ha 1-nél kisebb és nagyobb abszolút értékű sajátérték is van. Ekkor létezik a tér két speciális, a tér "teljes terjedelméhez képest nagyon vékony" részhalmaza, az ún. stabil és instabil sokaság. Ha a trajektória éppen a stabil sokaság egy pontjába jutna - ennek valószínűsége 0 -, akkor ettől kezdve a trajektória a fixpontba konvergálna. Ha pedig az instabil sokaság egy pontjába lépne, akkor távolodna a fixponttól. A fixpont körül a stabil és instabil sokaság jó közelítései az 1-nél kisebb, illetve 1-nél nagyobb sajátértékekhez tartozó sajátvektorok által kifeszített alacsonyabb dimenziós síkok. Ez adja a paraméter megválasztásának ötletét. Úgy kell ugyanis azt meghatározni, hogy a következő pont közelítő értéke a stabil sajátvektorok síkjába essen. Ettől azt várhatjuk, hogy a trajektória a fixpont felé fog közelíteni.

A módszert az adaptív modellre alkalmaztuk sikeresen, mind a kaotikus mind a ciklizáló esetben (7. ábra).

7. ábra • Az ár alakulása az OGY alkalmazása esetén D = - 33.5 mellett

Kulcsszavak: dinamikus rendszer, piac, irányítás

IRODALOM

Bacsi Zs., Kovács E., Lakner Z., Vizvári B. (2000). Empirical Analysis of Producers' Price Expectations. Central European Journal of Operations Research, 7, 327-336

Fokasz Nikosz (1997). A társadalom göcsörtös fái? Bevezetés a fraktálhalmazok matematikájába. In: Fokasz Nikosz (szerk.) Rend és káosz. Replika könyvek 4., Replika Kör, Budapest

Hajdú Istvánné, Lakner Zoltán (2000). Az élelmiszeripar gazdaságtana. Mezőgazdasági Szaktudás Kiadó, Budapest

Kovács G., MureSannal, M., Vizvári B. (2001). A termelői árvárakozások egy új megközelítési módjáról. Szigma, 1-2. sz.

Lakner Zoltán, Stummer Ildikó (1996). A magyar sertésvertikum ökonometriai modellezésének lehetőségei. 36. Óvári Tudományos Napok, Mosonmagyaróvár, 149-155

Mellár Tamás, Rappai Gábor (1993). A fogyasztás alakulása a magyar gazdaságban. Szigma, XXIV. 35-61

Nerlove, M. (1958). Adaptive expectation and cobweb phenomena. Quarterly Journal of Economics, 72, 227-240

Ott, E., Grebogi, C., Yorke, J.A. (1990). Controlling Chaos. Physical Review Letters, 64, 1196-1199

Vizvári B., Rémik A. (2002). Rejtett összefüggések a Budapesti Árutőzsde gabona szekciójának működésében, VIII. Nemzetközi Agrárökonómiai Tudományos Napok, Gyöngyös, 2002. március 26-27. (pótkötet, megjelenés alatt)


<-- Vissza az 2002/10. szám tartalomjegyzékére