2000/3

Könyvszemle

ERDŐS A KÖNYVEKBEN ÉS A VALÓSÁGBAN

(Bevezetés) A három éve elhunyt Erdős Pál volt az utóbbi évtizedek legnagyobb hatású matematikusa. Nem mondom, hogy a "legnagyobb matematikus", hiszen a tudományos nagyság megítélése szubjektív, és hogy valaki mondjuk Erdőst, vagy Grothendiecket tartja többre, az nagyrészt azon múlik, hogyan értékeli az általuk művelt tudományágak jelentőségét; itt az utókor fog dönteni, vagy az sem. Biztos, hogy a legnagyobb matematikusok egyike volt, mondhatjuk, hogy a legnagyobb kombinatorikus. Bevezette a kombinatorikai szemléletet és kérdéseket számos más ágazatba, különösen a számelméletbe, halmazelméletbe és geometriába. Bevezette a valószínűségi módszereket a kombinatorikába és számelméletbe (noha a valószínűségszámítással magával nem foglalkozott intenzíven).

Erdős hatása túlnyúlik saját eredményein. Egész életformáját egyetlen célnak, a matematika előmozdításának rendelte alá. Mintegy 1500 cikket írt, legtöbbet társszerzőkkel; összesen közel 500 szerzőtársa volt. A sok cikk nem a tudományos nagyság mércéje vagy bizonyítéka, Erdősnek viszont fontos eszköze, és az ebben megnyilvánuló hiperaktivitás személyiségének lényeges eleme.

Ezt a hatást tükrözi, hogy rengetegen összegyűltek a temetésére és az utána rögtönzött emlékülésre, az 1999 nyarán Erdős nevével fémjelzett konferenciára pedig közel 450-en jöttek össze. Ennek tudható be az is, hogy halála óta már két könyvet is írtak róla. 1999-ben mindkettő megjelent magyarul is.

(Pszichotikus vagy pszichológus?) A tudósok élete kevésbé drámai, mint a politikusoké vagy bűnözőké. Az író könnyen csábul arra, hogy eltúlozza mind a (tényleg rendkívüli) képességeket és eredményeket, mind a bogarasságot, így egy extrém, "zseniális-őrült" figurát alkotva. Hoffman már könyve címében is ezt teszi (The man who loved only numbers); a tartalom ezt persze nem támasztja alá, és a fordító bölcsen más címet keresett. Erdős rengeteg szeretetet tanúsított sok ember, köztük e sorok méltatlan írója iránt is.

Hoffman (56. o.) Purdyra hivatkozva idéz egy történetet. "Egy függvényanalízissel kapcsolatos probléma volt a táblán (...) Két kutató akkortájt talált egy harmincoldalas megoldást, amire nagyon büszkék voltak. Erdős (...) minden erőlködés nélkül lefirkantott egy kétsoros megoldást." Ez a történet teljesen hihetetlen; bizonyára van valós alapja, és az ismétlések során nyert mitikus arányokat. Erdős életműve elég impresszív ilyen ékesítések nélkül is.

"A huszadik század (...) minden bizonnyal legkülönösebb matematikusa." (Schechter, hátlap) Mitől is volt különös? Megvetette a polgári élet rekvizitumait, nem volt állandó lakása, állása, bankszámlája, vagyona. Ha valami pénzhez jutott, azt nyomban elosztogatta: díjat alapított belőle, kitűzte kedvenc problémái megoldására (5 dollártól 10.000-ig, a nehézségtől függően), kölcsönadta csóró matematikusoknak kamatmentesen. Mindez összefoglalható két szóval: jószívűség és igénytelenség. Ezeket a mi kultúránk perverziónak tekinti, de ez minket minősít, nem Erdőst. (Nem élt ugyan annyira rosszul, mint amennyire nem volt pénze - nem volt mondjuk kocsija, de rendszerint volt valaki, aki elvitte. Nem volt kifejezetten aszkétikus, az élet apró kényelmeit, főleg amíg ezek az alkotást segítették, szívesen vette.)

"Az olyan frivolságok, mint a szex, a művészetek vagy a filmek nem érdekelték. Utoljára a 40-es években olvasott el egy regényt" (Hoffman, 30. o.). Ez teljesen hihető, csak véletlenül egyáltalán nem igaz. Lapozzunk ugyanabban a könyvben egy kicsit tovább. "Erdőst bemutatták Elekes Lajosnak (...) Sokan nem tudtak volna mihez kezdeni annak hallatán, hogy Elekes (...) Hunyadi Jánosról (...) írt könyvet. Erdős ellenben rögtön kapott a témán, és faggatni kezdte honfitársát, miért is szenvedett a magyar sereg katasztrofális vereséget a törökökkel vívott 1444-es várnai csatában." (uo. 107. o.) Mintha nem ugyanarról az emberről lenne szó.

A szépnem tényleg hidegen hagyta. Mindkét könyv elrágcsál az ezzel kapcsolatos (csekély) adatokon, teljesen feleslegesen. Ez akkor volna érdekes, ha befolyásolta volna Erdős munkáját, viselkedését, kapcsolatát a világgal. Mások családi gondjait megértette, a gyerekeket szerette (az én fiam is volt a kezében pár hónapos korában).

Minden más (pl. a bizarr nyelvhasználat)1 apró bogarasság, ami csak annyit mutat, hogy megengedhette magának, míg ha nekünk hasonló ötleteink támadnak, elfojtjuk vagy elfojtják bennünk.

Más vonásai nagyon is egészséges lelket mutatnak. Ilyen volt kiváló kapcsolatteremtő képessége és memóriája. Itt van a közismert történet arról, hogy a fiatal Erdős és Turán meglátogatták a tényleg különc Sidon Simont, aki ballábbal kelt fel és e szállóigeszerű szavakkal fogadta őket: "Kérem, jöjjenek máskor és különösen máshoz". Erdősnek mégis sikerült bejutnia és szóra bírnia Sidont - talán e nélkül a Sidon-sorozatokról szóló pár száz cikk sem lenne. Ez a történet Erdőst a pszichoterapeuta és nem a páciens szerepében mutatja.

Rengeteg emberrel tartott kapcsolatot a szélrózsa minden tájáról; észben tartotta, hogy kivel min dolgozott utoljára, de azt is, hogy kinek van kis gyereke, akiknek rendszerint hozott csokit. Mindkét könyv idéz pár történetet, amikor Erdős nem emlékezett valamire vagy valakire, és én is tapasztaltam ilyet; az ellenkezője volna csoda.

(Matematika) Erdős par excellence matematikus volt, és egy róla szóló írás akkor ér valamit, ha matematikusi lényét sikerül érzékeltetnie. Egy ilyen életrajz fő értelme lehetne megéreztetni az olvasóval, hogy mi az a matematika, milyen lehet matematikusnak lenni, és különösen milyen matematikus és milyen matematikát művel Erdős.

Milyen matematika van a könyvekben? Mindenféle, a (2 irracionalitásától a diszkrét programozásig és a halmazelmélet-logikai paradoxonokig - ezekben az a közös, hogy Erdős egyikkel sem foglalkozott. Hoffman öt, Schechter két oldalt szán a Monty Hall-kérdésre. (Három doboz közül egyikben van a nyeremény. Egyikre rámutatunk. A játékvezető ezután kinyit egy másikat, ami üres. Végül felszólít minket, hogy válasszunk: azt a dobozt kérjük, amelyet először mutattunk, vagy a harmadikat. Melyik a jobb?) Ennek Erdőshöz annyi köze van, hogy Vázsonyi (saját állítása szerint) hiába próbálta Erdősnek elmagyarázni a megoldást. Ha igaz, ez csak azt mutatja, hogy Vázsonyi rosszul magyaráz. Az ebben foglalt matematika egyébként teljesen triviális, ami nem egészen nyilvánvaló és megzavarja az embereket, az az, hogy a pongyolán megfogalmazott kérdésnek milyen matematikai modell felel meg.

Néha Erdős témáira is sor kerül. Amit itt kapunk, az annak a krónikája, hogyan próbálták a szerzők a meginterjúvolt jeles matematikusokkal megmagyaráztatni maguknak Erdős alkotásait, és küszködtek annak megértésével, többnyire sikertelenül. Ez különösen kiviláglik, mihelyst saját szavaikat hozzáfűzik. Nézzünk egy pár példát.

(Ramsey-elmélet.) A legegyszerűbb állítás, mellyel az olvasó bizonnyal találkozott iskolás korában, hogy hat ember között mindig vagy van három, akik mind ismerik egymást, vagy van három, akik közül senki sem ismer senkit; hogy melyik eset fog előfordulni, azt persze nem lehet előre megmondani. Ha három helyett mondjuk kilencvenkilenc ilyen embert keresünk, annyit is találhatunk, ha a társaság elég nagy; hogy az "elég nagy" hány embert jelent, azt nem tudjuk pontosan, csak becslések vannak. Ennek nyomán Ramsey-típusúnak neveznek sok olyan tételt, amely azt mondja, hogy egy elég nagy struktúrában mindig lesz valamilyen szabályos részstruktúra.

Másik szép példa, hogy akárhogy is veszünk fel a síkon 5 pontot, közülük valamelyik 4 konvex négyszöget határoz meg. Ha konvex ötszöget vagy 99-szöget keresünk, azt is találhatunk, ha a pontok száma elég nagy; az "elég nagy" teljesen pontos értelmét itt sem ismerjük.

Miután Schechter a fentieket 6 oldalon elmondja, szinte értelmesen, rátér a Biblia-kódra és arra, hogy van a Marson egy kis jóakarattal emberi arcnak látszó képződmény - de hogy mindennek Ramseyhez mi köze van, arra nem sikerült rájönnöm.

(Tökéletes számok) Egy pozitív egész szám tökéletes, ha egyenlő önmagától különböző osztóinak összegével (mint 6 = 1+2+3); ha az osztók összege a számnál nagyobb, a szám bővelkedő, ha kisebb, hiányos. Tökéletes szám nagyon kevés van, eddig harmincegynéhányat találtak, a legnagyobbak több ezer jegyűek. Bővelkedő szám sok van, például ilyen a 12 minden többszöröse. Hiányos szám is sok van, noha rájuk nem lehet ilyen egyszerű képlettel példát mutatni. Vajon hogyan oszlik el az egész számok többsége e két fajta között? Ha kiszámítjuk a bővelkedő számok arányát az összes egész számok között egy határig, ez stabilizálódik, ahogy a határ nő, vagy oszcillál? (Illusztrációként, ha azt az egyszerű tulajdonságot vesszük, hogy a szám utolsó számjegye 1-es, az ilyenek aránya igen gyorsan 1/10 körül stabilizálódik. Ha viszont azt az ugyanolyan egyszerű tulajdonságot tekintjük, hogy az első számjegy 1-es, az ilyen számok aránya 1/9 és 5/9 között oszcillál.) Erdős egyik fiatalkori csúcsteljesítménye Schur sejtésének bizonyítása, mely szerint a bővelkedő számok esetén ez az arány stabilizálódik: a szokásos szakkifejezéssel élve, a bővelkedő számok halmazának létezik aszimptotikus sűrűsége. (Schechter, miután elmondja a sztorit, e szavakkal árulja el, hogy egy kukkot sem ért belőle: "Hétköznapi nyelven fogalmazva: a bővelkedő számok valóban bőven vannak." [51. o.]) A sűrűség létezését egyébként Erdőssel párhuzamosan mások is bebizonyították. Erdős viszont nem állt meg ennél, hamarosan kibontakoztatott ebből egy új elméletet, amely később (Kubiliustól) a valószínűségi számelmélet nevet nyerte. (A valószínűségszámítással való kapcsolatot, amire a fenti példából csak nagyon jó fantáziával lehet gondolni, egyébként nem vette észre akkor sem Erdős, sem a korai elméletben szintén fontos szerepet játszó Turán Pál.)

(Erdős, a csodaöreg.) "Butul az öreg, eliramlik a tétel" - mondta Erdős az érett kor bölcsességének szépségéről. A természet törvénye alól ő sem volt kivétel. Amikor megismertem, ötvenes évei végén, egyszerre három-négy embert tudott matematikával foglalkoztatni. Nyolcvanas éveire ez már nem áll, de élete végéig jeles alkotó maradt. Csak következtetni próbálhatok arra, milyen lehetett képességei csúcsán.

Nyilván látta, hogy semmiképpen sem tudja minden ötletét kidolgozni. A körülmények szorítására kezdett vándorolni, de ez hajlamaival egybevágott és hamarosan életformájává vált. Szerteágazó tudását és kivételes memóriáját így tudta igazán hasznosítani. "Nem titkolta el a feltevéseit, hiszen nem az volt a célja, hogy ő bizonyítson be valamit először. Inkább arra törekedett, hogy valaki bebizonyítsa - vele vagy nélküle" - idézi Hoffman (49. o.) Soifertől. Ahogy alkotóképességei csökkentek - ezt a csökkenést talán sokáig csak ő maga látta, olyan magasan volt még mindig -, úgy alakult át fokozatosan a bizonyító Erdős a kérdező és közvetítő Erdőssé, így tudta utolsó percéig a matematikát gyarapítani.

(Magyarság) Erdős magyar matematikus volt, és nem érthetjük meg ennek a figyelmen kívül hagyásával. Hoffman evégett pár oldalon összefoglalja az egész magyar történelmet Árpádtól napjainkig; ez úgy, ahogy van, bekerülhetne a Tanár úr kérem-be. "Erdély független mohamedán állam lett." "Kun Béla, az erdélyi zsidó, puccsal megdöntötte a demokratikus köztársaságot." Lehet persze, hogy az átlag amerikainak ez is valami2. Schechter szerencsésebben arra szorítkozik, ami szükséges annak megértéséhez, milyen is volt magyar zsidónak lenni a két világháború között.

(A fordítás) Egy szöveg lefordításához nagyjából az kell, hogy tudjuk a nyelvet, amelyről fordítunk, amelyre fordítunk, és megértsük a szöveget. Ha szakmai szövegről van szó - a mi esetünkben matematikáról, még ha felszínesen is -, mindezek a kézenfekvő követelmények új dimenziót nyernek. A Hoffman-könyv fordítása minden lehetséges csapdába belesétál. Hallunk "ellipszis alakú függvényekről" (97. o.) [elliptikus], "elérhetetlen tőszámokról" (227. o.) [számosság], és megtudjuk, hogy (48. o.) "a prímszámtétel 1896-os igazolása sem ért volna célt különböző számológépek segítsége nélkül" (persze numerikus számoláshoz ennek semmi köze; itt csak találgatni tudok, hogy mi állhatott az eredetiben).

A Schechter-könyv ezeket nagyrészt elkerüli. Bár azt furcsállom, hogy "a matematikusok feltaláltak több egzotikus számfajt" (37. o.), "a számelmélet, közelebbről a normális eloszlás" (89. o.), "standard szórás" (91. o.). A billió és trillió obligát összekeverésére is sor kerül (119. o.). És ahhoz mit szólunk, hogy "a magyar feleségek hagyományosan "uram"-nak szólítják férjeiket" (57. o.), "szakértők és más mazochisták" (68. o.), vagy "Goldbach csokija matematikai nyelvtörőnek bizonyult" (132. o.) Az Institute for Advanced Study az egyik könyvben Princetoni Továbbképző Intézet, a másikban Felsőbb Tudományok Intézete. Mindkét könyvben szerepel néhány játékos versike, a fordítási kísérletek tragikusak. Hadd idézzem búcsúzóul az egyiket eredetiben.

A problem both deep and profound,

Is whether a circle is round.

In a paper by Erdős

Written in Kurdish

A counter-example is found.

(Konklúzió.) Mindkét szerzőnek sikerült rengeteg utánajárással, tömérdek adatot összegyűjtve és sok embert meginterjúvolva szinte semmit sem megértenie Erdős személyiségéből és művéből. Ha a Tisztelt Olvasó e könyvek valamelyikéből akar megismerkedni Erdőssel, Schechterét ajánlom, mert kevesebb ballasztot hordoz (ezért rövidebb és olcsóbb is), és a fordítás is valamivel jobb. De ha pontos, megbízható és lényegre törő információt szeretne, olvassa el Babai László cikkét3. (Paul Hoffman: A prím ember (The man who loved only numbers), ford. Nagy György, Scolar Kiadó, 1999. 288 o. - Bruce Schechter: Agyam nyitva áll! Erdős Pál matematikai utazásai (My brain is open, The mathematical journeys of Paul Erdős), ford. Gyárfás Vera, Vince Kiadó és Park Kiadó, 1999. 191 o.)

Ruzsa Imre

JEGYZET

1 Erdős meglátogatott minket. Szólt a rádió. "Nagy a zaj", mondta Erdős, ami nála annyit jelent, hogy jó a zene. Feleségem engedelmesen ugrott, hogy lehalkítsa.

2 Egy jeles amerikai matematikus, akinek némely eredményét Erdős is gyakran idézte, amikor kiderült, hogy magyar vagyok, megkérdezte, hogy jártam-e már Európában.

3 Babai László: In and out of Hungary: Paul Erdős, his friends, and times, in Combinatorics: Paul Erdős is eighty (Vol. 2), Bolyai Társulat, Budapest 1996, 7-95.


<-- Vissza az 2000/3 szám tartalomjegyzékére